Innenwinkel von Vielecken

Die Summe der Innenwinkel eines Vielecks hängt nur von der Anzahl der Seiten ab. Bei einem n-Eck beträgt die Summe (n − 2) × 180°. Regelmäßige Vielecke haben alle Winkel gleich groß, d. h. jeder Innenwinkel beträgt Summe geteilt durch n.

Was ist ein Vieleck?

Ein Vieleck ist eine geschlossene ebene Figur mit geraden Seiten.

Seiten	Bezeichnung
3	Dreieck
4	Viereck
5	Fünfeck
6	Sechseck
8	Achteck
10	Zehneck

Formel für die Innenwinkelsumme

Innenwinkelsumme eines Vielecks

\text{Innenwinkelsumme} = (n - 2) \times 180°

n = Anzahl der Seiten

Woher stammt diese Formel? Jedes Vieleck lässt sich durch Diagonalen von einem Eckpunkt aus in Dreiecke zerlegen. Ein $n$ -Eck lässt sich in $(n-2)$ Dreiecke zerlegen, jedes mit 180°.

Figur	$n$	$(n-2) \times 180°$
Dreieck	3	180°
Viereck	4	360°
Fünfeck	5	540°
Sechseck	6	720°

Jeder Winkel in einem regelmäßigen Vieleck

Ein regelmäßiges Vieleck hat alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß.

$\text{Jeder Innenwinkel} = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

Jeder Winkel eines regelmäßigen Sechsecks

$\text{Jeder Winkel} = \frac{(6-2) \times 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°$

Außenwinkel

Ein Außenwinkel entsteht, wenn man eine Seite verlängert. Für jedes Vieleck gilt:

$\text{Summe aller Außenwinkel} = 360° \quad \text{(immer)}$

Bei einem regelmäßigen Vieleck gilt: jeder Außenwinkel = $360° \div n$ .

Tipp

Innenwinkel + Außenwinkel = 180° (sie liegen auf einer Geraden).

Praxisbezug: Sechseckige Bodenfliesen

Regelmäßige Sechseck-Fliesen haben Innenwinkel von $\frac{(6-2) \times 180°}{6} = 120°$ .

Drei Fliesen an einem Punkt ergeben $3 \times 120° = 360°$ — genau eine volle Drehung. Deshalb lassen sich Sechsecke lückenlos verlegen.

Praxisbezug: Stoppschild

Ein Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck. Jeder Innenwinkel beträgt $\frac{(8-2) \times 180°}{8} = 135°$ .

Seine unverwechselbare Form ist aus jeder Richtung erkennbar — die Innenwinkelformel erklärt seine Geometrie.

Praxisbezug: Fußball

Ein traditioneller Fußball besteht aus regelmäßigen Fünfecken (Innenwinkel 108°) und Sechsecken (120°). Genau diese Winkel erlauben es, dass die flachen Felder zu einer nahezu kugelförmigen Form zusammengenäht werden können.

Übungsaufgaben

Berechne die Innenwinkelsumme eines Achtecks (8 Seiten).

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(8 − 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°

Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks beträgt 135°. Wie viele Seiten hat es?

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Außenwinkel = 180° − 135° = 45°. Anzahl der Seiten = 360° ÷ 45° = 8 Seiten (regelmäßiges Achteck).

Drei Winkel eines Vierecks sind 85°, 110° und 95°. Berechne den vierten Winkel.

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Summe = 360°. Vierter Winkel = 360° − 85° − 110° − 95° = 70°.