Mittelpunkt und Abstand zweier Punkte

Der Mittelpunkt einer Strecke liegt genau in der Mitte zwischen den Endpunkten. Die Abstandsformel nutzt den Satz des Pythagoras, um den geradlinigen Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem zu berechnen.

Die Mittelpunktsformel

Der Mittelpunkt $M$ einer Strecke mit den Endpunkten $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ ist:

Mittelpunktsformel

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

x-Koordinaten addieren und durch 2 teilen; y-Koordinaten addieren und durch 2 teilen

Merke: Die beiden x-Werte addieren und durch 2 teilen; die beiden y-Werte addieren und durch 2 teilen.

Mittelpunkt von A(2, 4) und B(8, 10) berechnen

$M = \left(\frac{2+8}{2},\; \frac{4+10}{2}\right) = (5, 7)$

Die Abstandsformel

Der Abstand $d$ zwischen $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

Abstandsformel

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Quadrate der Differenzen der x- und y-Koordinaten addieren, dann Wurzel ziehen

Abstand zwischen A(1, 2) und B(4, 6) berechnen

Differenz der x-Werte: $4 - 1 = 3$

Differenz der y-Werte: $6 - 2 = 4$

$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Hinweis

Die Reihenfolge der Subtraktion spielt keine Rolle, da die Differenzen quadriert werden. $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$ .

Zusammenhang beider Formeln

Der Mittelpunkt von $A(1,2)$ und $B(4,6)$ ist $(2{,}5, 4)$ , und der Abstand von diesem Mittelpunkt zu jedem Endpunkt beträgt $5/2 = 2{,}5$ Einheiten.

Praxisbezug: Raststopp planen

Zwei Städte liegen bei A(10, 20) und B(50, 80) auf einem Kartenraster (km). Der Mittelpunkt ist $M = \left(\frac{10+50}{2},\; \frac{20+80}{2}\right) = (30, 50)$ .

Am Punkt (30, 50) lässt sich ein Tankstopp ungefähr auf halber Strecke planen.

Praxisbezug: Raumdiagonale prüfen

Ein Bauarbeiter misst einen Raum von 4 m × 3 m. Die Diagonale sollte $d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ m betragen. Weicht der Messwert ab, ist der Raum nicht exakt rechtwinklig.

Praxisbezug: GPS-Tracking im Sport

Das GPS eines Fußballers zeigt Positionen bei (12, 5) und (18, 13) in Metern. Die Sprintdistanz beträgt $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ m. Analysten summieren Hunderte solcher Abschnitte, um die Gesamtlaufstrecke zu berechnen.

Übungsaufgaben

Berechne den Mittelpunkt von P(−3, 5) und Q(7, −1).

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M = ((−3+7)/2, (5+(−1))/2) = (4/2, 4/2) = (2, 2)

Berechne den Abstand zwischen C(0, 0) und D(5, 12).

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d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

M(4, 3) ist der Mittelpunkt von AB. A liegt bei (1, −1). Bestimme B.

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4 = (1 + xB)/2 → xB = 7. 3 = (−1 + yB)/2 → yB = 7. Also B = (7, 7).