Geradengraphen – y = mx + c

Jeder Geradengraph lässt sich als y = mx + c schreiben, wobei m die Steigung und c der y-Achsenabschnitt ist. Diese beiden Werte genügen, um jede Gerade zu zeichnen oder zu beschreiben.

Die Geradengleichung

$y = mx + c$

Buchstabe	Bedeutung
$m$	Steigung – wie steil die Gerade ist (Anstieg ÷ Versatz)
$c$	y-Achsenabschnitt – wo die Gerade die y-Achse schneidet

m und c bestimmen

$y = 3x + 2$

Steigung: $m = 3$ (Gerade steigt für jede Einheit nach rechts um 3)
y-Achsenabschnitt: $c = 2$ (schneidet y-Achse bei (0, 2))

Geradengraphen zeichnen

Den y-Achsenabschnitt $(0, c)$ einzeichnen
Steigung verwenden: von diesem Punkt aus 1 nach rechts und $m$ nach oben gehen (nach unten, wenn $m$ negativ ist)
Den zweiten Punkt einzeichnen und eine Gerade durch beide Punkte ziehen

y = 2x − 1 zeichnen

y-Achsenabschnitt: $(0, -1)$
Steigung 2 → 1 nach rechts, 2 nach oben → zweiter Punkt bei $(1, 1)$
Gerade einzeichnen

Gleichung aus einem Graphen ablesen

y-Achsenabschnitt ablesen → $c$
Zwei klare Punkte wählen; Steigung berechnen = (Änderung von $y$ ) ÷ (Änderung von $x$ )

In die Normalform umformen

Manchmal werden Gleichungen in anderer Form angegeben. Umformen, um $y$ freizustellen:

2y − 4x = 6 umformen

$2y = 4x + 6$ $y = 2x + 3$

Steigung = 2, y-Achsenabschnitt = 3

Tipp

Parallele Geraden haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Z. B. sind $y = 3x + 1$ und $y = 3x − 4$ parallel.

Praxisbezug: Mobilfunktarif

Ein Tarif kostet 10 €/Monat plus 5 Ct/Minute. Die Kostengleichung lautet $y = 0{,}05x + 10$ .

Bei 200 Minuten: $y = 0{,}05 \times 200 + 10 = 20\text{ EUR}$ . Die Steigung (0,05) ist der Minutenpreis, der y-Achsenabschnitt (10) die Grundgebühr.

Praxisbezug: Temperaturumrechnung

Celsius in Fahrenheit: $F = 1{,}8C + 32$ — eine Gerade mit Steigung 1,8 und y-Achsenabschnitt 32.

Bei $C = 100$ : $F = 1{,}8 \times 100 + 32 = 212°F$ (Siedepunkt des Wassers).

Praxisbezug: Taxifahrt

Ein Taxi verlangt 2,50 € Grundgebühr plus 1,40 € pro km. Die Preisgleichung ist $y = 1{,}4x + 2{,}5$ . Eine 10-km-Fahrt kostet $1{,}4 \times 10 + 2{,}5 = 16{,}50\text{ EUR}$ .

Übungsaufgaben

Gib Steigung und y-Achsenabschnitt von y = −2x + 5 an.

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m = −2 (Gerade fällt ab), c = 5 (schneidet y-Achse bei (0, 5)).

Eine Gerade verläuft durch (0, 3) und (2, 7). Stelle ihre Gleichung auf.

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m = (7−3)/(2−0) = 2. c = 3. Gleichung: y = 2x + 3.

Forme 3y + 9x = 12 in die Form y = mx + c um.

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3y = −9x + 12 → y = −3x + 4. m = −3, c = 4.