Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Eine zusammengesetzte Figur besteht aus zwei oder mehr einfachen Figuren. Um den Gesamtflächeninhalt zu berechnen, teile die Figur in Rechtecke, Dreiecke oder andere bekannte Formen auf, berechne jeden Flächeninhalt einzeln und addiere sie.

Was ist eine zusammengesetzte Figur?

Eine zusammengesetzte Figur (auch Verbundfigur) entsteht durch das Zusammensetzen von zwei oder mehr Grundfiguren wie Rechtecken, Dreiecken, Halbkreisen oder Trapezen.

Strategie: Aufteilen, Berechnen, Addieren

Aufteilen – Zeichne gestrichelte Linien, um die Figur in bekannte Teile zu zerlegen.
Beschriften – Trage alle Maße ein – manchmal müssen fehlende Längen erst berechnet werden.
Berechnen – Berechne den Flächeninhalt jedes Teils mit der richtigen Formel.
Addieren – Addiere alle Einzelflächen.

L-förmiger Raum

Eine L-Form lässt sich in zwei Rechtecke aufteilen.

Gesamtbreite: 8 m, Höhe: 6 m; ein rechteckiges Stück von 3 m × 4 m wird oben rechts abgeschnitten.

Rechteck A: $8 \times 6 = 48$ m² Abgeschnittenes Stück: $3 \times 4 = 12$ m²

Alternativ direkt in zwei kleinere Rechtecke aufteilen:

Linker Teil: $5 \times 6 = 30$ m²
Rechter Teil: $3 \times 2 = 6$ m²
Gesamt: $30 + 6 = 36$ m²

Beide Wege liefern das gleiche Ergebnis.

Figuren mit Halbkreisen

Enthält eine Figur einen Halbkreis, verwende: $\text{Flächeninhalt Halbkreis} = \frac{\pi r^2}{2}$

Rechteck mit Halbkreis oben

Rechteck 10 cm × 6 cm, mit einem Halbkreis mit Durchmesser 10 cm oben.

Rechteck: $10 \times 6 = 60$ cm²

Halbkreis (Radius = 5): $\frac{\pi \times 25}{2} \approx 39{,}3$ cm²

Gesamt ≈ $99{,}3$ cm²

Tipp

Beim Berechnen des Umfangs einer zusammengesetzten Figur zähle nur die äußeren Kanten – nicht die inneren Trennlinien.

Praxisbezug: Garten mit Terrasse planen

Ein Garten ist rechteckig, 10 m × 8 m, mit einer quadratischen Terrassenfläche von 3 m × 3 m in einer Ecke, die gepflastert wird.

Rasenfläche = Gesamt − Terrasse:

$A = (10 \times 8) - (3 \times 3) = 80 - 9 = 71 \text{ m}^2$

71 m² Rasen werden benötigt. Die Terrasse braucht 9 m² Pflastersteine.

Praxisbezug: L-förmiger Wohnungsgrundriss

Eine Wohnung hat einen L-förmigen Grundriss. Das äußere Rechteck misst 8 m × 6 m, aber eine 2 m × 3 m Abstellnische ist aus einer Ecke herausgeschnitten.

Gesamtrechteck: $8 \times 6 = 48 \text{ m}^2$

Abgezogene Nische: $2 \times 3 = 6 \text{ m}^2$

Nutzbare Wohnfläche: $48 - 6 = 42 \text{ m}^2$

Immobilienmakler listen die Wohnung mit 42 m²; ein Bodenleger bestellt genau 42 m² Laminat und vermeidet Mehrkosten.

Praxisbezug: Leichtathletik-Laufbahn

Eine Hallen-Laufbahn ist ein 60 m × 30 m Rechteck mit je einem Halbkreis an den kurzen Enden (Durchmesser 30 m, Radius 15 m).

Rechteck: $60 \times 30 = 1800 \text{ m}^2$

Zwei Halbkreise = ein voller Kreis: $\pi \times 15^2 \approx 707 \text{ m}^2$

Gesamtfläche $\approx 1800 + 707 = 2507 \text{ m}^2$

Hallenbetreiber nutzen diese Berechnung für die Kosten einer Neubelaglegung.

Tipp

Wo begegnen uns zusammengesetzte Figuren? Fast jeder Gebäudegrundriss, Schwimmbecken mit gerundeten Enden, Sportfelder mit abgerundeten Ecken und Parkgestaltungen sind zusammengesetzte Figuren.

Übungsaufgaben

Eine Figur besteht aus einem Rechteck von 10 cm × 4 cm, auf dem ein Dreieck mit Grundseite 10 cm und Höhe 3 cm sitzt. Berechne den Gesamtflächeninhalt.

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Rechteck: 10 × 4 = 40 cm². Dreieck: ½ × 10 × 3 = 15 cm². Gesamt = 55 cm².

Eine L-Form hat die äußeren Maße 8 m × 7 m. Ein Stück von 3 m × 4 m wird aus einer Ecke herausgeschnitten. Wie groß ist der Flächeninhalt?

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Vollständiges Rechteck: 8 × 7 = 56 m². Herausgeschnittenes Stück: 3 × 4 = 12 m². Flächeninhalt = 56 − 12 = 44 m².

Eine Laufbahn besteht aus einem Rechteck von 60 m × 30 m mit Halbkreisen an beiden kurzen Enden (Durchmesser 30 m). Berechne den Gesamtflächeninhalt innerhalb der Bahn.

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Rechteck: 60 × 30 = 1800 m². Zwei Halbkreise = ein voller Kreis: π × 15² ≈ 707 m². Gesamt ≈ 2507 m².