Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks

Berechnung des Flächeninhalts und Umfangs von Dreiecken mit der Grundseite-Höhe-Formel und dem Heron'schen Flächensatz.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Dreieck mit Grundseite b, Höhe h und den Seiten a, b, c

Flächeninhalt eines Dreiecks

A = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h

b ist die Grundseite, h ist die senkrechte Höhe auf diese Grundseite.

Heron'scher Flächensatz

Wenn nur die drei Seitenlängen $a$ , $b$ , $c$ bekannt sind, verwende den Heron'schen Flächensatz:

Heron'scher Flächensatz

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \dfrac{a+b+c}{2}

s ist der Halbumfang des Dreiecks.

Flächeninhalt eines Dreiecks mit Grundseite 10 cm und Höhe 6 cm

$A = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \text{ cm}^2$

Heron'scher Flächensatz: Seiten 3, 4, 5

$s = (3+4+5)/2 = 6$

$A = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}^2$

(Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck – Probe: $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ✓)

Praxisbezug: Verkleidung eines Dachgiebels

Ein dreieckiger Dachgiebel hat eine Grundseite von 8 m und eine Höhe von 3 m.

Ein Bauunternehmer möchte wissen, wie viel Verkleidungsmaterial er bestellen muss.

$A = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ m}^2$

Er bestellt 12 m² Material plus rund 10 % Verschnitt- und Zuschnittreserve.

Praxisbezug: Dreieckiges Grundstück

Ein Vermesser misst ein dreieckiges Grundstück mit einer Grundseite von 40 m und einer senkrechten Höhe von 25 m.

$A = \frac{1}{2} \times 40 \times 25 = 500 \text{ m}^2$

Das entspricht 0,05 Hektar. Grundstückseigentümer, Planer und Schätzer verwenden die Fläche zur Wertermittlung, Berechnung von Planungsgebühren oder zur Schätzung von Erntemengen.

Praxisbezug: Reflektionsfolie für Verkehrsschilder

Ein dreieckiges Warnschild hat eine Grundseite von 0,6 m und eine Höhe von 0,52 m.

$A = \frac{1}{2} \times 0{,}6 \times 0{,}52 = 0{,}156 \text{ m}^2$

Ein Hersteller, der 500 solche Schilder produziert, benötigt $500 \times 0{,}156 = 78 \text{ m}^2$ Reflektionsfolie. Die Vorausberechnung verhindert Unterbestellungen und Produktionsverzögerungen.

Tipp

Wo begegnen uns Dreiecke? Dachgiebel, Pyramidenflächen, dreieckige Verkehrswarnzeichen, Schiffsegel, Zeltquerschnitte, Bergsilhouetten und aufgeschnittene Sandwiches – überall sind dreieckige Flächen gefragt.

Übungsaufgaben

Ein Dreieck hat die Grundseite 12 m und die Höhe 5 m. Berechne seinen Flächeninhalt.

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A = ½ × 12 × 5 = 30 m²

Wende den Heron'schen Flächensatz auf ein Dreieck mit den Seiten 5, 12, 13 an.

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s = 15. A = √(15·10·3·2) = √900 = 30 cm²

Ein dreieckiges Blumenbeet hat die Grundseite 6 m und die Höhe 4 m. Wie viel Kompost (in m²) wird benötigt?

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A = ½ × 6 × 4 = 12 m²