Direkte Proportion

Zwei Größen sind direkt proportional, wenn sie im gleichen Verhältnis zu- oder abnehmen. Wenn eine sich verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere. Die Beziehung lautet y = kx, wobei k der Proportionalitätsfaktor ist.

Was bedeutet direkte Proportion?

Zwei Größen sind direkt proportional, wenn ihr Verhältnis konstant bleibt.

Wenn $x$ sich verdoppelt, verdoppelt sich $y$ . Wenn $x$ sich verdreifacht, verdreifacht sich $y$ .

Beispiele aus dem Alltag:

Je mehr Äpfel du kaufst, desto mehr bezahlst du (Preis ∝ Menge)
Je weiter du fährst bei konstanter Geschwindigkeit, desto mehr Kraftstoff verbrauchst du
Anzahl der Arbeiter und Gesamtlohn (gleicher Stundenlohn)

Die Formel

Direkte Proportion

y = kx

y und x sind die zwei Größen; k ist der Proportionalitätsfaktor (immer gleich für eine bestimmte Beziehung)

Um $k$ zu finden: Teile einen bekannten Wert von $y$ durch den passenden Wert von $x$ .

$k = \frac{y}{x}$

Den Proportionalitätsfaktor k finden

5 kg Äpfel kosten 3,50 €.

$k = \frac{3{,}50}{5} = 0{,}70 \quad \text{(0,70 EUR pro kg)}$

Kosten für 8 kg: $y = 0{,}70 \times 8 = 5{,}60\text{ EUR}$

Direkt proportionale Graphen erkennen

Ein direkt proportionaler Graph:

Ist eine Gerade
Geht durch den Ursprung (0, 0)

Wenn der Graph nicht durch (0, 0) geht, ist die Beziehung linear, aber nicht direkt proportional.

Tabellenscheck

Ein schneller Überblick: Wenn $\frac{y}{x}$ für jedes Wertepaar in einer Tabelle den gleichen Wert ergibt, sind die Größen direkt proportional.

$x$	$y$	$y/x$
2	6	3
5	15	3
10	30	3 ✓

Praxisbezug

Praxisbezug: Rezept skalieren

Ein Pastarezept für 4 Personen benötigt 300 g Nudeln.

$k = 300 \div 4 = 75 \text{ g pro Person}$

Für 10 Personen: $75 \times 10 = 750 \text{ g}$

Köche und Caterer nutzen direkte Proportionalität, um Rezepte auf beliebige Personenzahlen hochzurechnen.

Praxisbezug: Kraftstoffkosten

Ein Auto verbraucht 7 Liter pro 100 km.

Für 450 km: $\dfrac{7}{100} \times 450 = 31{,}5 \text{ Liter}$

Kraftstoffverbrauch und Strecke sind direkt proportional — doppelte Strecke bedeutet doppelter Verbrauch.

Praxisbezug: Währungsumrechnung

Wechselkurs: €1 = 1,10 USD.

Umrechnung von €85: $85 \times 1{,}10 = 93{,}50\text{ USD}$

Banken und Reise-Apps nutzen direkte Proportionalität für sofortige Währungsumrechnungen.

Übungsaufgaben

Ein Auto fährt bei konstanter Geschwindigkeit 120 km in 2 Stunden. Wie weit fährt es in 5 Stunden?

Antwort anzeigen

k = 120/2 = 60 km/h. Strecke = 60 × 5 = 300 km.

Ein Rezept verwendet 200 g Mehl für 8 Kekse. Wie viel Mehl ist für 20 Kekse nötig?

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k = 200/8 = 25 g pro Keks. Mehl = 25 × 20 = 500 g.

Zeigt diese Tabelle direkte Proportion? x: 3, 6, 9 — y: 7, 14, 21

Antwort anzeigen

y/x = 7/3 ≈ 2,33 für alle Paare. Das Verhältnis ist konstant, also ja — direkt proportional.