Umgekehrte Proportion

Zwei Größen sind umgekehrt proportional, wenn eine zunimmt, während die andere um denselben Faktor abnimmt. Das Produkt der zwei Größen ist immer konstant, und die Formel lautet y = k/x.

Was ist umgekehrte Proportion?

Zwei Größen sind umgekehrt proportional, wenn eine zunimmt, während die andere im gleichen Verhältnis abnimmt.

Verdoppelt sich eine Größe, halbiert sich die andere. Ihr Produkt bleibt konstant.

Beispiele aus dem Alltag:

Arbeiter und Zeit: mehr Arbeiter → weniger Zeit zum Fertigstellen einer Arbeit
Geschwindigkeit und Fahrtzeit: schneller fahren → Fahrt dauert weniger Zeit
Zahnradzähne: ein größeres Zahnrad dreht sich langsamer

Die Formel

Umgekehrte Proportion

y = \frac{k}{x}

y und x sind die zwei Größen; k ist der Proportionalitätsfaktor (= x × y für jedes Wertepaar)

Um $k$ zu finden: Multipliziere ein beliebiges passendes Wertepaar. $k = xy$ .

Arbeiter und Zeit

4 Arbeiter können einen Zaun in 6 Stunden streichen.

k finden: $k = 4 \times 6 = 24$

Wie lange für 3 Arbeiter? $y = 24 / 3 = 8$ Stunden

Wie lange für 8 Arbeiter? $y = 24 / 8 = 3$ Stunden

Graphenform

Ein umgekehrt proportionaler Graph ist eine Hyperbel — eine Kurve, die sich den Achsen annähert, sie aber nie berührt.

Anders als bei direkter Proportion geht er nicht durch den Ursprung.

Vergleich: Direkte und umgekehrte Proportion

Merkmal	Direkt ( $y = kx$ )	Umgekehrt ( $y = k/x$ )
Eine verdoppelt sich…	die andere verdoppelt sich	die andere halbiert sich
Graph	Gerade durch den Ursprung	Hyperbel
Konstante	$y/x = k$	$xy = k$

Praxisbezug

Praxisbezug: Geschwindigkeit und Reisezeit

Eine Strecke ist 240 km lang. Bei 60 km/h dauert sie 4 Stunden.

$k = 60 \times 4 = 240$

Bei 80 km/h: $t = 240 \div 80 = 3 \text{ Stunden}$

Geschwindigkeit und Reisezeit sind umgekehrt proportional — das Produkt bleibt konstant bei 240.

Praxisbezug: Arbeitskräfte und Deadline

4 Maurer brauchen 6 Tage für eine Mauer.

$k = 4 \times 6 = 24$

In 3 Tagen fertig: $n = 24 \div 3 = 8 \text{ Maurer nötig}$

Bauleiter nutzen das, um bei verschobenen Deadlines die benötigte Mannschaftsstärke zu berechnen.

Praxisbezug: Gangschaltung am Fahrrad

Ein Fahrrad hat ein Kettenblatt mit 52 Zähnen. Das hintere Ritzel wechselt zwischen 13 und 26 Zähnen.

Mit 13 Zähnen: $52 \div 13 = 4$ Radumdrehungen pro Pedalumdrehung.

Mit 26 Zähnen: $52 \div 26 = 2$ Radumdrehungen pro Pedalumdrehung.

Ritzelgröße und Übersetzung sind umgekehrt proportional.

Übungsaufgaben

6 Freiwillige können einen Park in 4 Stunden reinigen. Wie lange würden 8 Freiwillige brauchen?

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k = 6 × 4 = 24. Zeit = 24 ÷ 8 = 3 Stunden.

Bei 60 km/h dauert eine Reise 3 Stunden. Wie lange dauert sie bei 90 km/h?

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k = 60 × 3 = 180. Zeit = 180 ÷ 90 = 2 Stunden.

Eine Tabelle zeigt x: 2, 4, 6 und y: 12, 6, 4. Liegt umgekehrte Proportion vor?

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xy = 24 für alle Paare (2×12, 4×6, 6×4). Ja — das Produkt ist konstant, also umgekehrte Proportion.