Verhältnisse und Proportionen

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen. Eine Proportion gibt an, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Proportionen werden durch Kreuzprodukt gelöst.

Was ist ein Verhältnis?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen. Das Verhältnis von 3 Äpfeln zu 5 Orangen wird so geschrieben:

$3 : 5 \quad \text{oder} \quad \frac{3}{5}$

Verhältnisse können wie Brüche vereinfacht werden: $6:10 = 3:5$ .

Hinweis Die Reihenfolge ist wichtig! Das Verhältnis 3:5 ist verschieden von 5:3.

Eine Proportion besagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \times d = b \times c

Multipliziere über Kreuz, um die Unbekannte in einer Proportion zu bestimmen.

Finde $x$ :

$\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$

Kreuzprodukt: $3 \times 12 = 4 \times x$

$36 = 4x \implies x = 9$

Teile 60 im Verhältnis 2:3 auf:

Gesamtteile = 2 + 3 = 5

Ein Teil = 60 ÷ 5 = 12

$2 \times 12 = 24, \quad 3 \times 12 = 36$

Ein Rezept verwendet Mehl und Zucker im Verhältnis 5:2. Wenn du 350 g Mehl verwendest, wie viel Zucker brauchst du?

$\frac{5}{2} = \frac{350}{x}$

$5x = 700 \implies x = 140 \text{ g}$

Praxisbezug: Kartenmaßstab lesen

Eine Wanderkarte hat den Maßstab 1 : 50.000. Ein Weg misst 4,6 cm auf der Karte.

Reale Strecke $= 4{,}6 \times 50.000 = 230.000 \text{ cm} = 2{,}3 \text{ km}$

Wanderer und Orientierungsläufer nutzen diesen Maßstab, um Routen zu planen und Gehzeiten abzuschätzen.

Praxisbezug: Architekturgrundriss

Ein Bauplan ist im Maßstab 1 : 100 gezeichnet. Eine Wand erscheint als 3,5 cm auf der Zeichnung.

Reale Länge $= 3{,}5 \times 100 = 350 \text{ cm} = 3{,}5 \text{ m}$

Architekten und Bauunternehmer nutzen Maßstäbe, um Zeichnungen in reale Bauwerke zu übertragen.

Praxisbezug: Beton mischen

Ein Betongemisch erfordert Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 2 : 4. Der Bauarbeiter benötigt 70 kg Kies.

Gesamtteile $= 7$ . Ein Teil $= 70 \div 4 = 17{,}5 \text{ kg}$

Zement: $17{,}5 \text{ kg}$ — Sand: $35 \text{ kg}$ — Kies: $70 \text{ kg}$

Vereinfache das Verhältnis 24:36.

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ggT(24,36) = 12. Vereinfacht: 2:3.

Löse: 7/x = 14/10.

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Kreuzprodukt: 70 = 14x → x = 5.