Umfang eines Kreises

Der Umfang ist der Abstand rund um den Kreis. Er ergibt sich aus π multipliziert mit dem Durchmesser oder 2π multipliziert mit dem Radius.

Wichtige Begriffe

Begriff	Definition
Radius ( $r$ )	Abstand vom Mittelpunkt zum Rand
Durchmesser ( $d$ )	Abstand quer durch den Kreis durch den Mittelpunkt; $d = 2r$
Umfang ( $C$ )	Abstand rund um den ganzen Kreis
Pi ( $\pi$ )	Ungefähr 3,14159… – eine feste Zahl, die Durchmesser und Umfang verknüpft

Die Formeln

Umfang eines Kreises

C = \pi d = 2\pi r

C = Umfang, d = Durchmesser, r = Radius, π ≈ 3,14159

Verwende $C = \pi d$ , wenn der Durchmesser bekannt ist; verwende $C = 2\pi r$ , wenn der Radius bekannt ist.

Umfang berechnen – Radius gegeben

Ein Kreis hat den Radius $r = 5$ cm.

$C = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31{,}4 \text{ cm}$

Umfang berechnen – Durchmesser gegeben

Ein Rad hat den Durchmesser $d = 0{,}6$ m.

$C = \pi \times 0{,}6 \approx 1{,}88 \text{ m}$

Bei einer vollen Umdrehung legt das Rad etwa 1,88 m zurück.

Radius aus dem Umfang berechnen

Formel umstellen:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Radius berechnen

Ein Kreis hat den Umfang 50 cm.

$r = \frac{50}{2\pi} = \frac{50}{6{,}283} \approx 7{,}96 \text{ cm}$

Tipp

Wenn in einer Aufgabe steht „gib das Ergebnis in Form von π an", multipliziere nicht mit 3,14159. Schreibe z. B. einfach $10\pi$ cm.

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Fahrradtacho — Abstand pro Umdrehung

Ein Fahrradrad hat Durchmesser 70 cm. Bei einer Umdrehung legt das Rad zurück:

$C = \pi \times 70 \approx 220 \text{ cm} = 2{,}2 \text{ m}$

Fahrradcomputer zählen Umdrehungen und berechnen damit Geschwindigkeit und Gesamtdistanz.

Praxisbezug: Umrandung eines Kreisverkehrs

Ein Kreisverkehr hat Radius 15 m. Die äußere Fahrbahnkante (Umfang):

$C = 2\pi \times 15 = 30\pi \approx 94{,}2 \text{ m}$

Straßenplaner berechnen damit die benötigte Länge für Randsteine und Markierungslinien.

Praxisbezug: versetzter Start auf der Laufbahn

Eine Athletikbahn hat Halbkreiskurven mit Innenradius 36,5 m. Jede äußere Bahn (Spurbreite 1,22 m) ist länger um:

$\Delta C = 2\pi \times 1{,}22 \approx 7{,}7 \text{ m}$

Daher starten Läufer in äußeren Bahnen weiter vorne, damit alle dieselbe Strecke zurücklegen.

Tipp

Wo nutzen wir den Umfang? Rollwege messen, Startversatz auf Laufbahnen, Ketten und Treibriemen auslegen, Papier um Zylinder wickeln und runde Rahmen bemessen — all das basiert auf der Kreisumfangformel.

Reale Anwendung: Fahrradrad und Tacho

Ein Fahrradrad hat einen Durchmesser von 70 cm ( $r = 35$ cm).

$C = \pi \times 70 \approx 220 \text{ cm} = 2{,}2 \text{ m}$

Bei jeder vollen Umdrehung legt das Fahrrad 2,2 m zurück. Fahrradcomputer zählen die Umdrehungen und nutzen diesen Umfang, um Geschwindigkeit und Strecke zu berechnen — das gleiche Prinzip wie ein Autotacho.

Reale Anwendung: Bahnlängen auf der Laufbahn

Eine Leichtathletik-Bahn hat zwei Halbkreiskurven mit Innenradius 36,5 m. Umfang einer Kurve (Innenring):

$C_{\text{Kurve}} = \pi \times 36{,}5 \approx 114{,}7 \text{ m}$

Jede äußere Bahn ist um $2\pi \times 1{,}22 \approx 7{,}7$ m länger. Deshalb starten Läufer in den äußeren Bahnen weiter vorne — ein versetzter Start sorgt dafür, dass alle die gleiche Strecke laufen.

Reale Anwendung: Teichrandgestaltung

Ein Gärtner möchte rund um einen kreisförmigen Teich mit Durchmesser 4,5 m Blumen pflanzen.

$C = \pi \times 4{,}5 \approx 14{,}1 \text{ m}$

Er benötigt etwa 14,1 m Randsteine. Durch die Berechnung des Umfangs kann er die richtige Menge bestellen.

Tipp

Übungsaufgaben

Berechne den Umfang eines Kreises mit Radius 8 cm. Runde auf eine Dezimalstelle.

Antwort anzeigen

C = 2π × 8 = 16π ≈ 50,3 cm

Ein kreisrunder Teich hat den Durchmesser 12 m. Wie groß ist sein Umfang?

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C = π × 12 = 12π ≈ 37,7 m

Ein Kreis hat den Umfang 62,8 cm. Berechne seinen Radius.

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r = 62,8 ÷ (2π) ≈ 62,8 ÷ 6,283 ≈ 10 cm