Flächeninhalt und Umfang eines Kreises

Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises und deren Anwendung.

Grundbegriffe

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis heißt Radius $r$ .

Flächeninhalt eines Kreises

A = \pi r^2

r ist der Radius des Kreises.

Umfang eines Kreises

C = 2\pi r = \pi d

Der Umfang eines Kreises wird als Kreisumfang bezeichnet.

Kreis mit Radius 5 cm

$A = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}54 \text{ cm}^2$

$C = 2\pi \times 5 = 10\pi \approx 31{,}42 \text{ cm}$

Tipp

Lasse Ergebnisse wenn möglich in Form von π stehen, um Genauigkeit zu erhalten. Verwende $\pi \approx 3{,}14159$ für Dezimalannäherungen.

Praxisbezug: Pizzavergleich

Eine kleine Pizza hat einen Durchmesser von 24 cm ( $r = 12$ cm), eine große hat 30 cm ( $r = 15$ cm).

Klein: $A = \pi \times 12^2 = 144\pi \approx 452 \text{ cm}^2$

Groß: $A = \pi \times 15^2 = 225\pi \approx 707 \text{ cm}^2$

Die große Pizza ist etwa 57 % größer als die kleine — obwohl sie nur 25 % breiter wirkt. Das Wissen über Kreisflächen hilft, den Wert einzuschätzen.

Praxisbezug: Gartensprinkler

Ein Rasensprenger bewässert einen Bereich mit Radius 5 m.

$A = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5 \text{ m}^2$

Ein Gärtner kann damit berechnen, wie viele Sprinkler für eine Rasenfläche von 20 m × 10 m (200 m²) benötigt werden: mindestens 3 Sprinkler mit etwas Überlappung.

Praxisbezug: Rundes Fensterglas

Ein Architekt entwirft ein rundes Fenster mit Durchmesser 0,8 m ( $r = 0{,}4$ m).

$A = \pi \times 0{,}4^2 = 0{,}16\pi \approx 0{,}50 \text{ m}^2$

Glas wird pro Quadratmeter verkauft. Diese Berechnung zeigt dem Glaser genau, wie viel Material er bestellen muss.

Tipp

Wo begegnen uns Kreise? Münzen, Räder, Uhrzifferblätter, Kanaldeckel, Pizzen, Kreisverkehre, Dartscheiben, Teller und Bullaugenfenster sind alle kreisförmig. Wenn du Fläche oder Umfang eines runden Objekts bestimmen musst, kommen diese Formeln zum Einsatz.

Übungsaufgaben

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius 3 cm.

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A = π × 9 = 9π ≈ 28,27 cm²

Ein Kreis hat den Umfang 20π cm. Wie groß ist sein Radius?

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2πr = 20π → r = 10 cm

Ein rundes Schwimmbecken hat einen Durchmesser von 8 m. Welche Grundfläche nimmt es ein?

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r = 4 m. A = π × 16 = 16π ≈ 50,3 m²