Kreisbögen und Kreisausschnitte

Ein Kreisbogen ist ein Teil des Umfangs; ein Kreisausschnitt ist ein kuchenstückförmiger Bereich eines Kreises. Beide werden als Bruchteil des vollen Kreises berechnet, wobei gilt: Bruchteil = Winkel geteilt durch 360.

Was sind Kreisbögen und Kreisausschnitte?

Ein Kreisbogen ist ein gekrümmter Teil des Umfangs eines Kreises.
Ein Kreisausschnitt ist der „Kuchenstück"-Bereich, der von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt wird.

Der Mittelpunktswinkel des Kreisausschnitts (der Zentriwinkel $\theta$ ) gibt an, welchen Bruchteil des vollen Kreises wir haben:

$\text{Bruchteil} = \frac{\theta}{360}$

Formel für die Bogenlänge

Bogenlänge

\text{Bogenlänge} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r

θ = Zentriwinkel in Grad, r = Radius

Bogenlänge berechnen

Ein Kreisausschnitt hat Radius 10 cm und Zentriwinkel 72°.

$\text{Bogen} = \frac{72}{360} \times 2\pi \times 10 = \frac{1}{5} \times 20\pi = 4\pi \approx 12{,}6 \text{ cm}$

Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts

Flächeninhalt des Kreisausschnitts

\text{Flächeninhalt Kreisausschnitt} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2

θ = Zentriwinkel in Grad, r = Radius

Flächeninhalt des Kreisausschnitts berechnen

Gleicher Kreisausschnitt: Radius 10 cm, Winkel 72°.

$\text{Fläche} = \frac{72}{360} \times \pi \times 10^2 = \frac{1}{5} \times 100\pi = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ cm}^2$

Winkel aus Bogenlänge berechnen

Wenn Bogenlänge und Radius bekannt sind, umstellen nach $\theta$ :

$\theta = \frac{\text{Bogenlänge} \times 360}{2\pi r}$

Tipp

Ein Halbkreis ist ein Kreisausschnitt mit $\theta = 180°$ . Sein Bogen ist genau halb so lang wie der Umfang.

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Scheibenwischerfläche

Ein Scheibenwischerblatt ist 55 cm lang und wischt einen Winkel von 120° ab.

$\text{Fläche} = \dfrac{120}{360} \times \pi \times 55^2 = \dfrac{1}{3} \times 3025\pi \approx 3168 \text{ cm}^2 \approx 0{,}317 \text{ m}^2$

Ingenieure nutzen das, um zu prüfen, ob der Wischer genug vom Fahrersichtfeld freiräumt.

Praxisbezug: Uhrzeigerbewegung

Der Minutenzeiger einer Uhr ist 12 cm lang. In 20 Minuten überstreicht er $\frac{20}{60} \times 360° = 120°$ .

Bogenlänge: $\dfrac{120}{360} \times 2\pi \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 24\pi \approx 25{,}1 \text{ cm}$

Praxisbezug: Fläche eines Pizzastücks

Eine Pizza hat Radius 15 cm und wird in 8 gleiche Stücke geschnitten (jedes überstreicht 45°).

Fläche pro Stück: $\dfrac{45}{360} \times \pi \times 15^2 = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4 \text{ cm}^2$

Pizzabäcker berechnen damit die Teigmenge und die Belagverteilung pro Stück.

Tipp

Wo begegnen uns Kreisausschnitte? Scheibenwischerbewegung, Uhrzeiger, Pizzastücke, Kreisdiagramme, Bewässerungspivots und Stadionpläne — überall dort spielen Kreisbögen und -ausschnitte eine Rolle.

Reale Anwendung: Scheibenwischerfläche

Ein Scheibenwischerblatt ist 55 cm lang und wischt einen Winkel von 120° ab.

$\text{Fläche} = \dfrac{120}{360} \times \pi \times 55^2 = \dfrac{1}{3} \times 3025\pi \approx 3168 \text{ cm}^2 = 0{,}317 \text{ m}^2$

Ingenieure verwenden diese Berechnung bei der Konstruktion von Windschutzscheiben, um sicherzustellen, dass der Wischer genug vom Sichtfeld des Fahrers freimacht.

Reale Anwendung: Uhrzeigerbewegung

Der Minutenzeiger einer Uhr ist 12 cm lang. In 20 Minuten überstreicht er $\dfrac{20}{60} \times 360° = 120°$ .

Bogenlänge: $\dfrac{120}{360} \times 2\pi \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 24\pi \approx 25{,}1 \text{ cm}$

Fläche: $\dfrac{120}{360} \times \pi \times 12^2 = 48\pi \approx 150{,}8 \text{ cm}^2$

Reale Anwendung: Pizzastück

Eine Pizza hat Radius 15 cm und wird in 8 gleiche Stücke geschnitten (jedes überstreicht $45°$ ).

Krustenlänge pro Stück: $\dfrac{45}{360} \times 2\pi \times 15 = \dfrac{15\pi}{4} \approx 11{,}8 \text{ cm}$

Fläche pro Stück: $\dfrac{45}{360} \times \pi \times 15^2 = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4 \text{ cm}^2$

Tipp

Übungsaufgaben

Berechne die Bogenlänge eines Kreisausschnitts mit Radius 6 cm und Winkel 90°.

Antwort anzeigen

Bogen = (90/360) × 2π × 6 = ¼ × 12π = 3π ≈ 9,4 cm

Berechne den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts mit Radius 5 cm und Winkel 120°.

Antwort anzeigen

Fläche = (120/360) × π × 25 = ⅓ × 25π ≈ 26,2 cm²