Gleichwertige Brüche

Zwei Brüche sind gleichwertig, wenn sie denselben Wert darstellen. Multipliziere oder dividiere sowohl Zähler als auch Nenner durch dieselbe von null verschiedene Zahl.

Was sind gleichwertige Brüche?

Zwei Brüche sind gleichwertig, wenn sie denselben Teil eines Ganzen darstellen.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$

Jeder Balken zeigt genau die Hälfte schattiert — die Brüche sind gleichwertig.

Wie findet man gleichwertige Brüche?

Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren:

$\frac{3}{5} \times \frac{2}{2} = \frac{6}{10}$

Beide durch dieselbe Zahl dividieren (vereinfachen):

$\frac{8}{12} \div \frac{4}{4} = \frac{2}{3}$

Hinweis Du kannst immer mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren — du multiplizierst damit eigentlich mit 1 in anderer Form.

Einfachste Form

Ein Bruch ist in einfachster Form, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Einfachste Form

\frac{a}{b} \text{ ist vereinfacht, wenn } \gcd(a,b) = 1

ggT = Größter gemeinsamer Teiler

Vereinfache 18/24

ggT(18, 24) = 6

$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

Brüche vergleichen

Um $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{5}$ zu vergleichen, schreibe mit einem gemeinsamen Nenner (kgV = 15) um:

$\frac{2}{3} = \frac{10}{15}, \quad \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$

Also $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ .

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Kartenmaßstäbe

Eine Karte verwendet den Maßstab $\dfrac{1}{50.000}$ — 1 cm auf der Karte entspricht 500 m in der Realität. Der gleichwertige Bruch $\dfrac{2}{100.000}$ beschreibt denselben Maßstab anders geschrieben.

Praxisbezug: Rabatte im Geschäft

Ein Laden bietet „ $\dfrac{1}{4}$ Rabatt" auf jeden Artikel. Das Kassensystem erfasst dies als 25% Rabatt: $\dfrac{25}{100}$ .

Das sind gleichwertige Brüche: $\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$ .

Praxisbezug: Nährwertangaben vergleichen

Müsli A enthält 12 g Zucker pro 48 g Portion ( $\dfrac{12}{48}$ ). Müsli B enthält 5 g pro 20 g Portion ( $\dfrac{5}{20}$ ).

Vereinfache beide: $\dfrac{12}{48} = \dfrac{1}{4}$ und $\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$ . Beide Müsli enthalten denselben Zuckeranteil.

Tipp

Wo begegnest du dem? Kartenmaßstäbe, Währungskurse, Kochmaße („3/4 Tasse = 12 Esslöffel"), Nährwertprozente, Musik-Taktangaben.

Übungsaufgaben

Schreibe zwei Brüche, die gleichwertig zu 3/7 sind.

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6/14 und 9/21 (Zähler und Nenner mit 2 und dann mit 3 multiplizieren).

Vereinfache 20/36 auf die einfachste Form.

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ggT(20, 36) = 4, also 20/36 = 5/9.