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Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung schreibt einen quadratischen Ausdruck ax² + bx + c in der Form a(x + p)² + q um. Diese Methode wird verwendet, um quadratische Gleichungen zu lösen, den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden und die Lösungsformel herzuleiten.

Zuletzt aktualisiert: 6. November 2025

★★★★☆ Stufe 4MathematikAlgebraQuadratischQuadratische-ErgänzungScheitelpunkt3 Min Lesezeit

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Warum quadratische Ergänzung?

Die Lösungsformel löst jede quadratische Gleichung, aber die quadratische Ergänzung ermöglicht außerdem:

  • Den Scheitelpunkt (Tiefpunkt/Hochpunkt) einer Parabel direkt ablesen
  • Gleichungen lösen ohne Faktorisieren
  • y=x2+bx+cy = x^2 + bx + c genau skizzieren

Methode für x2+bx+cx^2 + bx + c (Koeffizient von x2x^2 ist 1)

  1. Halbiere den Koeffizienten von xx: p=b/2p = b/2
  2. Schreibe (x+p)2−p2+c(x + p)^2 - p^2 + c

Quadratische Ergänzung für x² + 6x + 5

b=6b = 6, also p=3p = 3

(x+3)2−9+5(x + 3)^2 - 9 + 5

=(x+3)2−4= (x + 3)^2 - 4

Probe durch Ausmultiplizieren: (x+3)2−4=x2+6x+9−4=x2+6x+5(x+3)^2 - 4 = x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5 ✓

Lösen durch quadratische Ergänzung

Löse x² + 6x + 5 = 0

Von oben: (x+3)2−4=0(x + 3)^2 - 4 = 0

(x+3)2=4(x + 3)^2 = 4

x+3=±2x + 3 = \pm 2

x=−3+2=−1x = -3 + 2 = -1 \quad oder x=−3−2=−5\quad x = -3 - 2 = -5

Den Scheitelpunkt ablesen

Die Form (x+p)2+q(x + p)^2 + q gibt uns den Tiefpunkt der Parabel: (−p,q)(-p, q).

Für (x+3)2−4(x + 3)^2 - 4: Scheitelpunkt ist (−3,−4)(-3, -4).

Tipp

Der Minimalwert von (x+p)2+q(x + p)^2 + q ist qq, da ein Quadrat immer ≥ 0 ist. Der Scheitelpunkt liegt daher bei x=−px = -p.

Wenn der Koeffizient von x2x^2 nicht 1 ist

Erst ausklammern:

2x2+8x+3=2(x2+4x)+3=2[(x+2)2−4]+3=2(x+2)2−52x^2 + 8x + 3 = 2(x^2 + 4x) + 3 = 2[(x+2)^2 - 4] + 3 = 2(x+2)^2 - 5

Anwendungsbeispiele

Praxisbezug: Maximale Höhe eines geworfenen Balls

Die Höhe eines Balls beträgt h=−4t2+16t+2h = -4t^2 + 16t + 2.

Quadratische Ergänzung: h=−4(t2−4t)+2=−4[(t−2)2−4]+2=−4(t−2)2+18h = -4(t^2 - 4t) + 2 = -4[(t-2)^2 - 4] + 2 = -4(t-2)^2 + 18.

Der Ball erreicht seine maximale Höhe von 18 m bei t=2t = 2 Sekunden.

Praxisbezug: Höchster Punkt eines Brückenbogens

Ein Brückenbogen ist beschrieben durch y=−x2+8xy = -x^2 + 8x (Meter). Quadratische Ergänzung:

y=−(x2−8x)=−[(x−4)2−16]=−(x−4)2+16y = -(x^2 - 8x) = -[(x-4)^2 - 16] = -(x-4)^2 + 16.

Der Bogen erreicht seinen Scheitelpunkt bei 16 m, direkt über x=4x = 4 m. Ingenieure nutzen dies, um die Durchfahrtshöhe für Fahrzeuge oder Schiffe zu berechnen.

Praxisbezug: Brennpunkt einer Satellitenantenne

Ein Parabolspiegel folgt der Kurve y=14x2y = \frac{1}{4}x^2. Die Scheitelpunktform zeigt, dass der Brennpunkt bei (0,1)(0, 1) liegt — 1 m über dem Mittelpunkt der Antenne.

Der Empfänger muss genau dort platziert werden, damit das Signal optimal gebündelt wird.

Übungsaufgaben

Führe die quadratische Ergänzung für x² − 4x + 7 durch.

Antwort anzeigen
p = −4/2 = −2. (x−2)² − 4 + 7 = (x−2)² + 3. Scheitelpunkt: (2, 3).

Löse x² − 4x + 3 = 0 durch quadratische Ergänzung.

Antwort anzeigen
(x−2)² −4 + 3 = 0 → (x−2)² = 1 → x−2 = ±1 → x = 3 oder x = 1.

Schreibe x² + 10x − 3 in Scheitelpunktform und nenne den Minimalwert.

Antwort anzeigen
(x+5)² − 25 − 3 = (x+5)² − 28. Minimalwert ist −28 (wenn x = −5).