Die Lösungsformel

Die Lösungsformel (quadratische Formel) löst jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0, indem sie die Lösungen in Abhängigkeit von a, b und c berechnet.

Die quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung hat die Form:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

Lösungsformel

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Diese Formel liefert beide Lösungen einer beliebigen quadratischen Gleichung.

Die Diskriminante

Die Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ bestimmt die Art der Lösungen:

Diskriminante	Lösungen
$\Delta > 0$	Zwei verschiedene reelle Lösungen
$\Delta = 0$	Eine doppelte reelle Lösung
$\Delta < 0$	Zwei komplexe Lösungen

Hinweis

Die Summe der Lösungen ist $x_1 + x_2 = -b/a$ und das Produkt ist $x_1 \cdot x_2 = c/a$ (Satz von Vieta).

Löse x² − 5x + 6 = 0

Hier $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

$x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$

Also $x_1 = 3$ und $x_2 = 2$ .

Quadratische Ergänzung

Eine weitere Methode: Schreibe $ax^2 + bx + c$ als $a(x + h)^2 + k$ um.

1
Durch a dividieren
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
2
Konstante auf die rechte Seite verschieben
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
3
(b/2a)² auf beiden Seiten addieren
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
4
Wurzel ziehen
$x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Anwendungsbeispiele

Praxisbezug: Wann landet ein Ball?

Ein Ball wird hochgeworfen. Seine Höhe in Metern beträgt $h = -5t^2 + 20t$ .

Für den Aufprall lösen wir $-5t^2 + 20t = 0$ , also $t^2 - 4t = 0$ .

Mit der Lösungsformel: $\Delta = 16$ , also $t = \frac{4 \pm 4}{2}$ .

$t = 4$ s (Aufprall) und $t = 0$ (Abwurf). Der Ball ist 4 Sekunden in der Luft.

Praxisbezug: Maße eines rechteckigen Gartens

Ein Gärtner möchte ein Rechteck mit Fläche 24 m² und Umfang 20 m. Sei eine Seite $x$ .

Aus dem Umfang: die andere Seite ist $10 - x$ . Fläche ergibt $x(10 - x) = 24$ , also $x^2 - 10x + 24 = 0$ .

$\Delta = 4$ , also $x = \frac{10 \pm 2}{2}$ : Die Seiten sind 6 m und 4 m.

Praxisbezug: Bremsweg eines Autos

Der Bremsweg eines Autos beträgt $d = 0{,}05v^2 + 0{,}7v$ . Der Fahrer muss innerhalb von 40 m anhalten.

Lösung: $0{,}05v^2 + 0{,}7v - 40 = 0$ , Multiplikation mit 20: $v^2 + 14v - 800 = 0$ .

Mit der Lösungsformel ergibt sich $v \approx 22$ m/s (ca. 79 km/h). Bei höherer Geschwindigkeit reicht der Bremsweg nicht mehr aus.

Übungsaufgaben

Löse x² + 4x − 5 = 0 mit der Lösungsformel.

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Δ = 16 + 20 = 36. x = (−4 ± 6)/2. x₁ = 1, x₂ = −5

Berechne die Diskriminante von 2x² − 3x + 5 = 0. Wie viele reelle Lösungen gibt es?

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Δ = 9 − 40 = −31 < 0. Keine reellen Lösungen (zwei komplexe Lösungen).

Löse x² − 6x + 9 = 0.

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Δ = 36 − 36 = 0. Eine doppelte Lösung: x = 3