Die Diskriminante

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung bestimmt, wie viele und welche Art von Lösungen die Gleichung hat.

Definition

Für die quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ ist die Diskriminante:

\Delta = b^2 - 4ac

Die Diskriminante bestimmt die Art und Anzahl der Lösungen.

$\Delta > 0$ : Zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Stellen.
$\Delta = 0$ : Genau eine reelle Lösung (doppelte Lösung). Die Parabel berührt die x-Achse.
$\Delta < 0$ : Keine reellen Lösungen. Die Parabel schneidet die x-Achse nicht.

Tipp

Ohne die vollständige Lösungsformel zu berechnen, sagt dir die Diskriminante allein, wie viele Lösungen zu erwarten sind.

Klassifiziere die Lösungen von 3x² − 2x + 5 = 0

$\Delta = (-2)^2 - 4(3)(5) = 4 - 60 = -56$

Da $\Delta < 0$ , gibt es keine reellen Lösungen.

Praxisbezug: Schafft der Ball die Wand?

Ein Ball folgt der Bahn $h = -t^2 + 6t + 1$ . Erreicht er die Höhe $h = 10$ ?

$-t^2 + 6t + 1 = 10$ ergibt $t^2 - 6t + 9 = 0$ .

$\Delta = 36 - 36 = 0$ . Der Ball streift genau einmal die Höhe von 10 m — bei $t = 3$ s.

Praxisbezug: Erreicht ein Unternehmen die Gewinnschwelle?

Das Gewinnmodell lautet $G = -2x^2 + 8x - 10$ (Tausend Euro, $x$ = verkaufte Einheiten in Hundert).

Für $G = 0$ : $\Delta = 64 - 80 = -16 < 0$ .

Da $\Delta < 0$ , gibt es keine reellen Lösungen — das Unternehmen erreicht mit diesem Preismodell nie die Gewinnschwelle.

Praxisbezug: Resonanzfrequenzen einer Schaltung

Eine Schaltung wird durch $L\omega^2 - R\omega + \frac{1}{C} = 0$ beschrieben. Die Diskriminante $\Delta = R^2 - \frac{4L}{C}$ gibt Auskunft:

$\Delta > 0$ : zwei verschiedene Resonanzfrequenzen.
$\Delta = 0$ : kritische Dämpfung — eine Resonanzfrequenz.
$\Delta < 0$ : Überdämpfung — keine reelle Resonanzfrequenz; das Signal klingt nur ab.

Berechne für x² − 4x + 4 = 0 die Diskriminante und klassifiziere die Lösungen.

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Δ = 16 − 16 = 0. Eine doppelte reelle Lösung: x = 2

Berechne für x² − 4x + 3 = 0 die Diskriminante und klassifiziere die Lösungen.

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Δ = 16 − 12 = 4 > 0. Zwei verschiedene reelle Lösungen.