Ungleichungen — Lösen und Darstellen auf dem Zahlenstrahl

Eine Ungleichung vergleicht zwei Ausdrücke mit <, >, ≤ oder ≥. Das Lösen einer Ungleichung funktioniert wie das Lösen einer Gleichung, außer dass das Multiplizieren oder Dividieren durch eine negative Zahl das Ungleichungszeichen umkehrt.

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung vergleicht zwei Ausdrücke. Statt eines Gleichheitszeichens (=) verwendet sie eines dieser Zeichen:

Symbol	Bedeutung
`<`	kleiner als
`>`	größer als
≤	kleiner als oder gleich
≥	größer als oder gleich

Beispiel: $3x + 1 < 10$ bedeutet „finde alle Werte von $x$ , die $3x+1$ kleiner als 10 machen".

Ungleichungen lösen

Löse genau wie eine Gleichung — außer:

Warnung

Wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du das Ungleichungszeichen umkehren. $-2x > 6 \implies x < -3$ (Zeichen kehrt um, weil wir durch $-2$ dividiert haben)

Beispiel 1 — Positiver Koeffizient

$3x + 1 < 10$ $3x < 9 \quad (\text{1 von beiden Seiten subtrahieren})$ $x < 3 \quad (\text{beide Seiten durch } 3 \text{ dividieren})$

Beispiel 2 — Negativer Koeffizient (Zeichen kehrt um)

$5 - 2x \geq 11$ $-2x \geq 6 \quad (\text{5 subtrahieren})$ $x \leq -3 \quad (\text{durch } -2 \text{ dividieren, Zeichen umkehren!})$

Darstellung auf dem Zahlenstrahl

Offener Kreis ○ — der Endpunkt ist nicht eingeschlossen (bei < oder >)
Geschlossener Kreis ● — der Endpunkt ist eingeschlossen (bei ≤ oder ≥)

Ungleichung	Zahlenstrahl
$x < 3$	offener Kreis bei 3, Pfeil nach links
$x \geq -1$	geschlossener Kreis bei −1, Pfeil nach rechts

Lösungsmengen

Eine Ungleichung hat unendlich viele Lösungen — einen ganzen Bereich von Werten. Wir können die Lösung schreiben als:

Eine Ungleichung: $x < 3$
Ein Intervall: $(-\infty, 3)$ — offene Klammer bedeutet nicht eingeschlossen
Eine Menge: $\{x \in \mathbb{R} : x < 3\}$

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Mindestalter an Fahrgeschäften

Viele Freizeitpark-Attraktionen verlangen eine Mindestgröße von 120 cm. Wenn $h$ deine Körpergröße in cm ist, muss $h \geq 120$ gelten. Bist du 115 cm groß, ist $115 \geq 120$ falsch – du darfst nicht mitfahren.

Praxisbezug: Tempolimits

Ein Tempolimit von 50 km/h bedeutet, dass jede Fahrzeuggeschwindigkeit $v$ die Bedingung $v \leq 50$ erfüllen muss. Eine Kamera misst 67 km/h – da $67 > 50$ , hat der Fahrer das Limit überschritten.

Praxisbezug: Tragfähigkeit eines Aufzugs

Ein Aufzug darf maximal 480 kg tragen. Wenn jede Person etwa 80 kg wiegt und $n$ Personen einsteigen, gilt die sichere Bedingung $80n \leq 480$ , also $n \leq 6$ . Höchstens sechs Personen dürfen gleichzeitig fahren.

Tipp

Wo begegnest du dem? Temposchilder, Altersbeschränkungen auf Apps und Websites, Tragfähigkeitsgrenzen auf Brücken und in Aufzügen, Mindestgrößenanforderungen in Freizeitparks.

Übungsaufgaben

Löse: 2x − 3 > 7

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2x > 10, also x > 5. Offener Kreis bei 5, Pfeil nach rechts.

Löse: −3x ≤ 12. In welche Richtung kehrt das Zeichen um?

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Beide Seiten durch −3 dividieren (negativ → Zeichen umkehren): x ≥ −4. Geschlossener Kreis bei −4, Pfeil nach rechts.

Ein Geschäft sagt, man muss mindestens 12 Jahre alt sein, um ein Spiel zu kaufen. Schreibe dies als Ungleichung mit der Variable a (Alter).

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a ≥ 12 — 'mindestens 12' bedeutet 12 ist eingeschlossen, also ≥.