Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung, bei der jeder Term entweder eine Konstante oder eine einzelne Variable mit der ersten Potenz ist.

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung in einer Variablen hat die Form:

$ax + b = 0$

wobei $a \neq 0$ . Das Lösen nach $x$ ergibt:

$x = -\frac{b}{a}$

Normalform

ax + b = 0 \implies x = -\dfrac{b}{a}

wobei a ≠ 0. Die Lösung ist eindeutig.

Lineare Gleichungen lösen

Befolge diese Schritte, um eine lineare Gleichung zu lösen:

1
Beide Seiten vereinfachen
Klammern auflösen und gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen.
2
Variablen auf eine Seite bringen
Terme addieren oder subtrahieren, sodass alle Variablenterme links und Konstanten rechts stehen.
3
Die Variable isolieren
Beide Seiten durch den Koeffizienten der Variablen dividieren.
4
Lösung überprüfen
Die Antwort in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um zu überprüfen, ob sie korrekt ist.

Lösung von 3x + 7 = 19

Gegeben: $3x + 7 = 19$

Schritt 1: 7 von beiden Seiten subtrahieren: $3x = 12$

Schritt 2: Beide Seiten durch 3 dividieren: $x = 4$

Überprüfung: $3(4) + 7 = 12 + 7 = 19$ ✓

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen $x$ und $y$ hat die Form:

$ax + by = c$

Dies stellt eine Gerade in der Koordinatenebene dar. Die Normalform (Steigungsform) ist:

$y = mx + b$

wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

Steigungsformel

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Die Steigung m misst die Änderungsrate: Höhe durch Weite zwischen zwei Punkten.

Häufige Formen

Form	Gleichung	Wann verwenden
Normalform	$ax + by = c$	Allgemeine Form
Steigungsform	$y = mx + b$	Bekannte Steigung und y-Achsenabschnitt
Punkt-Steigungs-Form	$y - y_1 = m(x - x_1)$	Bekannter Punkt und Steigung

Häufige Fehler

Vergessen, Operationen auf beide Seiten anzuwenden: Was du auf einer Seite machst, musst du auch auf der anderen tun.
Vorzeichenfehler beim Verschieben von Termen: Das Verschieben von $+7$ nach rechts ergibt $-7$ .
Durch null dividieren: Überprüfe, dass $a \neq 0$ , bevor du dividierst.

Tipp

Überprüfe deine Lösung immer, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Taxifahrt

Ein Taxi berechnet eine Grundgebühr von €2,50 plus €1,20 pro km. Eine Fahrt kostet insgesamt €10,30. Wie weit war die Strecke? Mit $x$ = Entfernung in km: $1{,}20x + 2{,}50 = 10{,}30 \implies 1{,}20x = 7{,}80 \implies x = 6{,}5$ km.

Praxisbezug: Handyrechnung

Ein Mobilfunktarif kostet €8 pro Monat plus €0,05 pro Gesprächsminute. Die Rechnung letzten Monat betrug €18. Wie viele Minuten wurden genutzt? Mit $m$ = Minuten: $0{,}05m + 8 = 18 \implies 0{,}05m = 10 \implies m = 200$ Minuten.

Praxisbezug: Rezept skalieren

Ein Rezept für 4 Personen benötigt $x$ Gramm Reis. Für 7 Personen werden 630 g benötigt. Die Gleichung $\frac{7}{4}x = 630$ ergibt $x = 360$ g – die Menge für die ursprüngliche 4-Personen-Version.

Tipp

Wo begegnest du dem? Taxi- und Fahrgemeinschaftsquittungen, Strom- und Telefonrechnungen, Kochrezepte und Skalierungs-Apps, Währungsumrechnungen.

Übungsaufgaben

Löse: 5x − 3 = 17

Antwort anzeigen

5x = 20, also x = 4