Winkel mit Trigonometrie berechnen

Wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, können mit den inversen trigonometrischen Funktionen (Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens) fehlende Winkel berechnet werden.

Wiederholung: SOH CAH TOA

$\sin\theta = \frac{\text{Geg}}{\text{Hyp}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{Ank}}{\text{Hyp}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{Geg}}{\text{Ank}}$

Um einen fehlenden Winkel zu berechnen, verwende die inversen (Umkehr-)Funktionen:

$\theta = \sin^{-1}\!\left(\frac{\text{Geg}}{\text{Hyp}}\right) \quad \theta = \cos^{-1}\!\left(\frac{\text{Ank}}{\text{Hyp}}\right) \quad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{\text{Geg}}{\text{Ank}}\ \right)$

Am Taschenrechner: SHIFT (bzw. 2nd) drücken, dann sin/cos/tan.

Schritt-für-Schritt-Methode

Seiten beschriften: Hyp (dem rechten Winkel gegenüber), Geg (dem gesuchten Winkel gegenüber), Ank (neben dem gesuchten Winkel, nicht die Hyp).
Passendes Verhältnis wählen, je nachdem welche zwei Seiten bekannt sind.
Den Bruch berechnen, dann $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$ drücken.
Auf die gefordene Genauigkeit runden (üblicherweise 1 Dezimalstelle oder nächster Grad).

tan⁻¹ verwenden – Gegenkathete und Ankathete bekannt

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete = 4 cm und die Ankathete = 3 cm.

Geg und Ank bekannt → tan verwenden:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right) = \tan^{-1}(1{,}333) \approx 53{,}1°$

sin⁻¹ verwenden – Gegenkathete und Hypotenuse bekannt

Geg = 5 cm, Hyp = 13 cm.

$\theta = \sin^{-1}\!\left(\frac{5}{13}\right) \approx \sin^{-1}(0{,}385) \approx 22{,}6°$

Warnung

Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf DEG (Grad) eingestellt ist, nicht auf RAD (Radiant), es sei denn, die Aufgabe verlangt Radiant.

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Dachneigungswinkel

Ein Dachdecker misst, dass das Dach über eine horizontale Strecke von 5 m um 2 m ansteigt. Der Neigungswinkel beträgt:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{2}{5}\right) = \tan^{-1}(0{,}4) \approx 21{,}8°$

Bauvorschriften legen Mindest- und Höchstneigungswinkel fest — diese Berechnung bestätigt, ob das Dach die Anforderungen erfüllt.

Praxisbezug: Gefälle einer Skipiste

Eine Skipiste fällt 30 m senkrecht über 100 m Horizontaldistanz ab. Der Hangwinkel beträgt:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{30}{100}\right) = \tan^{-1}(0{,}3) \approx 16{,}7°$

Anhand dieses Winkels werden Pisten in grün, blau, rot oder schwarz eingestuft.

Praxisbezug: Kamerawinkel für ein Sportfoto

Ein Fotograf steht 20 m vom Fuß einer 15 m hohen Anzeigetafel entfernt. Der Höhenwinkel zur Oberkante beträgt:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{15}{20}\right) = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°$

So weiß er, wie weit er die Kamera nach oben neigen muss, um die Tafel optimal zu rahmen.

Tipp

Wann inverse Trigonometrie nutzen: Wenn du zwei Seiten kennst und den Winkel suchst, verwende $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$ — sie „machen" die trigonometrischen Funktionen rückgängig. Achte stets darauf, dass der Taschenrechner auf DEG (Grad) eingestellt ist.

Übungsaufgaben

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Geg = 6 cm und Hyp = 10 cm. Berechne den Winkel.

Antwort anzeigen

θ = sin⁻¹(6/10) = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°

Ank = 8 m, Hyp = 17 m. Berechne den Winkel.

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θ = cos⁻¹(8/17) = cos⁻¹(0,471) ≈ 61,9°

Geg = 7 cm, Ank = 7 cm. Wie groß ist der Winkel? (Erst nachdenken, dann rechnen.)

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tan θ = 7/7 = 1, also θ = tan⁻¹(1) = 45°. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck hat stets zwei 45°-Winkel.