SOHCAHTOA – Fehlende Seiten berechnen

SOHCAHTOA ist eine Eselsbrücke für die drei trigonometrischen Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Sie wird verwendet, um fehlende Seitenlängen zu berechnen, wenn ein Winkel und eine Seite bekannt sind.

Was ist SOHCAHTOA?

SOHCAHTOA ist eine Gedächtnisstütze für die drei Verhältnisse, die Winkel und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks verknüpfen.

Kürzel	Verhältnis	Formel
SOH	Sinus	$\sin\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
CAH	Kosinus	$\cos\theta = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
TOA	Tangens	$\tan\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Das Dreieck beschriften

Beschrifte die Seiten immer relativ zu dem Winkel, mit dem du arbeitest (nicht zum rechten Winkel):

Hypotenuse – die längste Seite, immer dem 90°-Winkel gegenüber
Gegenkathete – die Seite direkt gegenüber dem Winkel $\theta$
Ankathete – die Seite neben dem Winkel $\theta$ (nicht die Hypotenuse)

SOHCAHTOA zur Berechnung einer fehlenden Seite

Alle Seiten (Hyp, Geg, Ank) relativ zum bekannten Winkel beschriften.
Das Verhältnis wählen, das die bekannte Seite und die gesuchte Seite enthält.
In die Formel einsetzen und auflösen.

Gegenkathete berechnen (Sinusregel)

Winkel = 30°, Hypotenuse = 10 cm. Gegenkathete gesucht.

Hyp bekannt, Geg gesucht → SOH: $\sin 30° = \frac{\text{Geg}}{10}$

$\text{Geg} = 10 \times \sin 30° = 10 \times 0{,}5 = 5 \text{ cm}$

Ankathete berechnen (Kosinusregel)

Winkel = 40°, Hypotenuse = 8 cm. Ankathete gesucht.

CAH: $\cos 40° = \frac{\text{Ank}}{8}$

$\text{Ank} = 8 \times \cos 40° \approx 8 \times 0{,}766 = 6{,}13 \text{ cm}$

Hypotenuse berechnen (Sinusregel, Hyp unbekannt)

Winkel = 25°, Gegenkathete = 6 cm. Hypotenuse gesucht.

$\sin 25° = \frac{6}{\text{Hyp}}$

$\text{Hyp} = \frac{6}{\sin 25°} \approx \frac{6}{0{,}423} \approx 14{,}2 \text{ cm}$

Tipp

Steht die gesuchte Seite im Zähler des Bruchs, wird multipliziert; steht sie im Nenner, wird dividiert.

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Vermessung — Gebäudehöhe bestimmen

Ein Vermesser steht 50 m vom Fuß eines Gebäudes entfernt und misst den Höhenwinkel zur Spitze als 35°. Die 50 m sind die Ankathete; die Höhe ist die Gegenkathete. Mit TOA:

$\tan 35° = \dfrac{\text{Höhe}}{50}$ → $\text{Höhe} = 50 \times \tan 35° \approx 50 \times 0{,}700 = 35 \text{ m}$

Praxisbezug: Rollstuhlrampe planen

Laut Bauvorschrift darf eine Rampe auf 12 m Länge maximal 1 m Steigung haben. Der maximale Neigungswinkel beträgt:

$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{1}{12}\right) \approx 4{,}8°$

Ein Planer nutzt SOHCAHTOA, um $\sin 4{,}8° \times 12 \approx 1$ m zu bestätigen — und die Vorschrift einzuhalten.

Praxisbezug: Dachsparren berechnen

Ein Dach steigt 2,5 m über eine horizontale Spannweite von 5 m. Die Länge des Sparrens (Hypotenuse) erhält man über den Winkel:

$\tan\theta = \dfrac{2{,}5}{5} = 0{,}5$ → $\theta \approx 26{,}6°$

$\text{Hyp} = \dfrac{2{,}5}{\sin 26{,}6°} \approx \dfrac{2{,}5}{0{,}447} \approx 5{,}6 \text{ m}$

Tipp

Praxis-Tipp: Identifiziere zunächst, welche zwei Seiten bekannt sind und welche gesucht wird. Wähle das passende Verhältnis (SOH, CAH oder TOA), stelle um — und multipliziere, wenn die Unbekannte im Zähler steht, dividiere, wenn sie im Nenner steht.

Übungsaufgaben

Berechne die Gegenkathete. Winkel = 50°, Hyp = 12 cm.

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sin 50° = Geg/12 → Geg = 12 × sin 50° ≈ 12 × 0,766 ≈ 9,2 cm

Berechne die Ankathete. Winkel = 60°, Hyp = 20 cm.

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cos 60° = Ank/20 → Ank = 20 × 0,5 = 10 cm

Berechne die Hypotenuse. Winkel = 35°, Geg = 9 cm.

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sin 35° = 9/Hyp → Hyp = 9/sin 35° ≈ 9/0,574 ≈ 15,7 cm