Grundlagen der Trigonometrie

Lerne Sinus, Kosinus und Tangens kennen und wende SOH-CAH-TOA an, um Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck zu berechnen.

Das rechtwinklige Dreieck

Die Trigonometrie bezieht sich immer auf einen rechten Winkel (90°). Die drei Seiten haben besondere Namen:

Hypotenuse: die längste Seite, dem rechten Winkel gegenüber
Gegenkathete: die Seite gegenüber dem betrachteten Winkel $\alpha$
Ankathete: die Seite, die den Winkel $\alpha$ einschließt (aber nicht die Hypotenuse)

Die trigonometrischen Funktionen

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Merkhilfe: SOH-CAH-TOA

Abkürzung	Funktion	Formel
SOH	Sinus	Gegenkathete / Hypotenuse
CAH	Cosinus	Ankathete / Hypotenuse
TOA	Tangens	Gegenkathete / Ankathete

Hinweis

Merksatz: Someone Once Helped | Carefully And Happily | To Obtain Answers

Seite berechnen (Seite unbekannt)

Beispiel: $\alpha = 35°$ , Hypotenuse $= 10$ cm. Gesucht: Gegenkathete.

$\sin(35°) = \frac{\text{Gegenkathete}}{10}$

$\text{Gegenkathete} = 10 \times \sin(35°) \approx 10 \times 0{,}574 = 5{,}74 \text{ cm}$

Winkel berechnen (Winkel unbekannt)

Verwende die Umkehrfunktionen: $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ , $\tan^{-1}$ (auch arcsin, arccos, arctan).

Beispiel: Gegenkathete $= 6$ cm, Hypotenuse $= 10$ cm.

$\sin(\alpha) = \frac{6}{10} = 0{,}6$

$\alpha = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}87°$

Spezielle Winkel

Winkel	$\sin$	$\cos$	$\tan$
0°	0	1	0
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	1	0	—

Tipp

Um die Formel für sin(30°) zu merken: Zähle Finger von links – beim 3. Finger (30°) sind 1 von 4 Fingern links → $\frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$ .

Praxisbezug: Gebäudehöhe vermessen

Ein Geometer steht 30 m vom Fuß eines Gebäudes entfernt und misst den Elevationswinkel zur Gebäudespitze: $\alpha = 52°$ . Mit dem Tangens: $\tan(52°) = \frac{\text{Höhe}}{30}$ , also Höhe $= 30 \times \tan(52°) \approx 30 \times 1{,}28 = 38{,}4$ m. Geometer, Architekten und Vermessungsingenieure nutzen Trigonometrie täglich, um Gebäudehöhen, Geländeerhebungen und Abstände zu messen, ohne direkt messen zu müssen.

Praxisbezug: Rollstuhlrampe planen

Eine behindertengerechte Rampe darf maximal 6° Neigung haben. Wenn eine Rampe eine Höhenüberwindung von 40 cm leisten muss: $\sin(6°) = \frac{40 \text{ cm}}{L}$ , also $L = \frac{40}{\sin(6°)} \approx \frac{40}{0{,}104} \approx 383$ cm ≈ 3,83 m. Bauingenieure und Stadtplaner berechnen solche Rampenlängen, um Barrierefreiheit nach gesetzlichen Vorschriften zu gewährleisten.

Praxisbezug: GPS und Navigation

GPS-Satelliten nutzen trigonometrische Berechnungen, um die genaue Position eines Empfängers auf der Erde zu bestimmen. Durch die Winkel und Abstände zu mehreren Satelliten wird per Triangulation der exakte Standort errechnet – ein Verfahren, das auf denselben Sinus- und Kosinusfunktionen basiert, die in dieser Lektion gelehrt werden. Auch Flugzeugpiloten, Schifffahrtsnavigation und Raumfahrt verwenden Trigonometrie für präzise Richtungsberechnungen.

Tipp Merke SOH-CAH-TOA: Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse, Kosinus = Ankathete/Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete/Ankathete. Wenn ein Winkel gesucht ist, verwende die Umkehrfunktionen: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ am Taschenrechner.

Übungsaufgaben

In einem rechtwinkligen Dreieck: α = 40°, Hypotenuse = 15 cm. Berechne die Ankathete.

Antwort anzeigen

cos(40°) = Ankathete / 15 → Ankathete = 15 × cos(40°) ≈ 15 × 0,766 ≈ 11,49 cm

Gegenkathete = 5, Ankathete = 12. Berechne den Winkel α.

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tan(α) = 5/12 ≈ 0,417 → α = arctan(0,417) ≈ 22,6°

Berechne sin(45°) exakt.

Antwort anzeigen

sin(45°) = √2/2 ≈ 0,707