Netze und 3D-Körper

Lerne die Eigenschaften von 3D-Körpern, ihre Netze und wie man Oberfläche und Volumen berechnet.

3D-Körper und ihre Eigenschaften

Körper	Ecken	Kanten	Flächen
Würfel	8	12	6
Quader	8	12	6
Dreieckiges Prisma	6	9	5
Quadratische Pyramide	5	8	5
Kegel	1	1	2
Zylinder	0	2	3
Kugel	0	0	1

Hinweis

Eulersche Polyederformel: Für jedes konvexe Polyeder gilt: $E - K + F = 2$ (E = Ecken, K = Kanten, F = Flächen) Würfel: $8 - 12 + 6 = 2$ ✓

Netze

Das Netz eines 3D-Körpers ist die aufgefaltete (zweidimensionale) Darstellung. Wenn man das Netz zusammenfaltet, entsteht der 3D-Körper.

Würfel: Ein Netz des Würfels besteht aus 6 Quadraten in einem Kreuzplusmuster (oder verschiedenen anderen Anordnungen – es gibt 11 verschiedene Netze des Würfels!).

Tipp

Nicht jede Konfiguration aus 6 Quadraten ergibt ein gültiges Würfelnetz. Beim Prüfen: klappt man das Netz mental zusammen und kontrolliert, ob alle 6 Seiten ein geschlossenes Würfel bilden.

Oberfläche berechnen

Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen des 3D-Körpers.

Quader (Länge $l$ , Breite $b$ , Höhe $h$ ): $O = 2(lb + lh + bh)$

Würfel (Seitenlänge $a$ ): $O = 6a^2$

Zylinder (Radius $r$ , Höhe $h$ ): $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$

Volumen berechnen

Körper	Volumen
Würfel	$V = a^3$
Quader	$V = l \times b \times h$
Zylinder	$V = \pi r^2 h$
Prisma	$V = A_{\text{Grundfläche}} \times h$
Pyramide	$V = \frac{1}{3} \times A_{\text{Grundfläche}} \times h$
Kegel	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Kugel	$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Praxisbezug: Verpackungsdesign und Kartons

Wenn eine Schachtel für ein Produkt entworfen wird, erstellt ein Verpackungsdesigner zunächst das Netz: die aufgefaltete 2D-Form, die dann gefaltet, geklebt und befüllt wird. Eine Cornflakes-Packung ist ein Quader – ihr Netz besteht aus 6 Rechtecken. Die Oberfläche des Netzes bestimmt, wie viel Karton benötigt wird, was direkte Auswirkungen auf Materialkosten und Umweltverbrauch hat.

Praxisbezug: Geschenk einpacken

Um ein quaderförmiges Geschenk (20 cm × 15 cm × 10 cm) einzupacken, berechnet man die Oberfläche: $O = 2(20 \times 15 + 20 \times 10 + 15 \times 10) = 2(300 + 200 + 150) = 2 \times 650 = 1.300 \text{ cm}^2$ . Dazu rechnet man etwas Überlappung dazu. Oberflächen- und Netzberechnungen sind unmittelbar praktisch – jedes Mal, wenn man Papier, Folie oder Material um eine dreidimensionale Form wickelt.

Tipp Die Oberfläche eines 3D-Körpers entspricht genau der Fläche seines Netzes. Zeichne das Netz auf und beschrifte alle Maße – dann kannst du die Gesamtfläche berechnen, indem du alle einzelnen Flächen addierst.

Übungsaufgaben

Berechne das Volumen eines Quaders: l = 5 cm, b = 3 cm, h = 4 cm.

Antwort anzeigen

V = 5 × 3 × 4 = 60 cm³

Berechne die Oberfläche eines Würfels mit Seitenlänge 6 cm.

Antwort anzeigen

O = 6 × 6² = 6 × 36 = 216 cm²

Ein Zylinder hat Radius 3 cm und Höhe 10 cm. Berechne sein Volumen. (π ≈ 3,14)

Antwort anzeigen

V = π × 3² × 10 = 3,14 × 9 × 10 ≈ 282,6 cm³