Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Lerne, wie man den Flächeninhalt komplexer Figuren berechnet, indem man sie in einfachere Grundformen zerlegt.

Flächeninhaltsformeln der Grundformen

Form	Formel	Variablen
Rechteck	$A = l \times b$	l = Länge, b = Breite
Quadrat	$A = a^2$	a = Seitenlänge
Dreieck	$A = \frac{g \times h}{2}$	g = Grundlinie, h = Höhe
Trapez	$A = \frac{(a + c) \times h}{2}$	a, c = Parallelseiten, h = Höhe
Kreis	$A = \pi r^2$	r = Radius
Halbkreis	$A = \frac{\pi r^2}{2}$	r = Radius

Zusammengesetzte Figuren

Bei zusammengesetzten Figuren zerlegt man die Form in bekannte Grundformen:

1
Die Figur in erkennbare Grundformen einteilen (Rechtecke, Dreiecke usw.).
2
Alle nötigen Maße bestimmen (ggf. fehlende Längen berechnen).
3
Den Flächeninhalt jeder Grundform berechnen.
4
Alle Flächeninhalte addieren (oder subtrahieren, wenn Teile ausgeschnitten sind).

Beispiel: L-förmige Figur

┌──────────┐
│    A     │  h₁ = 4 cm
└────┐     │
     │ B   │  h₂ = 3 cm
     └─────┘
  3cm   5cm

Rechteck A: $3 \times 4 = 12 \text{ cm}^2$
Rechteck B: $5 \times 3 = 15 \text{ cm}^2$
Gesamt: $12 + 15 = 27 \text{ cm}^2$

Tipp

Manchmal ist es einfacher, die Subtraktion zu nutzen: Großes Rechteck berechnen, dann fehlenden Teil abziehen.

Beispiel: Figur mit Halbkreis

Eine Figur besteht aus einem Rechteck (Breite 6 cm, Höhe 4 cm) mit einem Halbkreis oben:

$A_{\text{Rechteck}} = 6 \times 4 = 24 \text{ cm}^2$ $A_{\text{Halbkreis}} = \frac{\pi \times 3^2}{2} = \frac{9\pi}{2} \approx 14{,}1 \text{ cm}^2$ $A_{\text{gesamt}} \approx 24 + 14{,}1 = 38{,}1 \text{ cm}^2$

Warnung

Vergiss nicht die Maßeinheiten: Flächeninhalte werden in Quadrateinheiten angegeben (cm², m², mm²). Das Quadrieren der Einheit nicht vergessen!

Praxisbezug: Fliesenlegen in der Küche

Ein Küchenboden hat eine L-förmige Fläche: ein Rechteck von 4 m × 3 m, verlängert um ein weiteres von 2 m × 2 m. Der Gesamtflächeninhalt beträgt (4 × 3) + (2 × 2) = 12 + 4 = 16 m². Beim Kauf von Fliesen muss man außerdem etwa 10 % Verschnitt einrechnen: 16 × 1,1 = 17,6 m². Handwerker berechnen täglich zusammengesetzte Flächen, um Materialmengen und Kosten genau zu ermitteln.

Praxisbezug: Wandbemalung mit Fensteraussparung

Eine rechteckige Wand (Breite 5 m, Höhe 3 m = 15 m²) hat ein Fenster (1,2 m × 1,5 m = 1,8 m²). Die zu streichende Fläche ist: 15 − 1,8 = 13,2 m². Da ein Liter Farbe ca. 10 m² abdeckt, werden 13,2 ÷ 10 = 1,32 Liter benötigt – also 2 Liter kaufen. Das Subtraktionsprinzip bei zusammengesetzten Flächen ist beim Renovieren und im Handwerk unverzichtbar.

Tipp Zerlege zusammengesetzte Figuren immer zuerst in einfache Grundformen (Rechtecke, Dreiecke, Halbkreise). Nutze die Subtraktionsmethode, wenn eine Fläche mit einem ausgeschnittenen Bereich vorliegt – es ist oft schneller als mehrere Teile zu addieren.

Übungsaufgaben

Ein L-förmiges Grundstück besteht aus zwei Rechtecken: 8 m × 5 m und 3 m × 4 m. Was ist der Gesamtflächeninhalt?

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A₁ = 8 × 5 = 40 m². A₂ = 3 × 4 = 12 m². Gesamt = 52 m².

Eine Figur besteht aus einem Rechteck 10 × 6 cm, aus dem ein Dreieck (Grundlinie 4 cm, Höhe 3 cm) herausgeschnitten wurde. Wie groß ist der Flächeninhalt?

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Rechteck: 60 cm². Dreieck: (4 × 3)/2 = 6 cm². Gesamt: 60 − 6 = 54 cm².