Geometrische Transformationen

Lerne die vier grundlegenden geometrischen Transformationen – Verschiebung, Spiegelung, Drehung und Streckung.

Was sind Transformationen?

Geometrische Transformationen bilden eine Figur auf eine neue Lage oder Größe ab. Dabei bleibt die Form erhalten (bei Kongruenzabbildungen auch die Größe).

1. Verschiebung (Translation)

Jeder Punkt wird um denselben Vektor $\binom{a}{b}$ verschoben.

$P(x, y) \rightarrow P'(x + a,\; y + b)$

Beispiel: Verschiebung um $\binom{3}{-2}$ : Punkt $(1, 4) \rightarrow (4, 2)$

Hinweis

Bei einer Verschiebung bleiben Form, Größe und Orientierung erhalten. Nur die Lage ändert sich.

2. Spiegelung (Reflexion)

Die Figur wird an einer Achse gespiegelt.

An der x-Achse: $P(x, y) \rightarrow P'(x, -y)$

An der y-Achse: $P(x, y) \rightarrow P'(-x, y)$

Am Ursprung: $P(x, y) \rightarrow P'(-x, -y)$

Jeder Punkt ist gleich weit von der Spiegelachse entfernt wie sein Spiegelbild.

3. Drehung (Rotation)

Die Figur wird um einen Drehpunkt um einen bestimmten Winkel gedreht.

Drehung um 90° im Uhrzeigersinn (Drehpunkt Ursprung): $P(x, y) \rightarrow P'(y, -x)$

Drehung um 180° (Drehpunkt Ursprung): $P(x, y) \rightarrow P'(-x, -y)$

Tipp

Bei Drehungen im Uhrzeigersinn ist der Winkel negativ, gegen den Uhrzeigersinn positiv.

4. Streckung (Dilatation)

Die Figur wird vom Streckzentrum aus um den Streckfaktor $k$ vergrößert oder verkleinert.

$P(x, y) \rightarrow P'(k \cdot x,\; k \cdot y) \quad \text{(Streckzentrum = Ursprung)}$

$k > 1$ : Vergrößerung
$0 < k < 1$ : Verkleinerung
$k < 0$ : Streckung + Spiegelung am Zentrum

Bei $k = -1$ entspricht die Streckung einer Punktspiegelung am Ursprung.

Übersicht

Transformation	Form	Größe	Orientierung
Verschiebung	gleich	gleich	gleich
Spiegelung	gleich	gleich	gespiegelt
Drehung	gleich	gleich	gedreht
Streckung ( $k \neq 1$ )	gleich	anders	gleich

Praxisbezug: Architekturfassaden und Musterkacheln

Architekten und Innendesigner verwenden geometrische Transformationen, um Fassadenmuster zu entwerfen. Ein Grundmuster (z. B. ein L-förmiges Kachelelement) wird durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung so kombiniert, dass es eine lückenlose Fläche ergibt. Islamische Ornamentik, maurische Fliesenkunst und moderne Fassadenverkleidungen sind meisterhaftes Transformationsdesign.

Praxisbezug: Computergrafik und Spieleentwicklung

In 3D-Spielen und Animationsfilmen werden Objekte ständig durch Transformationen bewegt: Eine Spielfigur wird verschoben (Translation), gedreht (Rotation) und vergrößert oder verkleinert (Skalierung). Für eine Explosion im Spiel werden Teilchen nach außen gestreckt. Grafikkarten führen Millionen solcher Transformationsberechnungen pro Sekunde aus – alles basiert auf denselben Formeln, die in der Schule gelehrt werden.

Tipp Merke die vier Transformationstypen: Verschiebung (ändert nur die Lage), Spiegelung (dreht die Orientierung), Drehung (ändert die Ausrichtung) und Streckung (ändert die Größe). Bei Kongruenzabbildungen (Verschiebung, Spiegelung, Drehung) bleibt die Form und Größe immer erhalten.

Übungsaufgaben

Verschiebe den Punkt A(2, 5) um den Vektor (−3, 4).

Antwort anzeigen

A'(2 + (−3), 5 + 4) = A'(−1, 9)

Spiegle B(4, −2) an der y-Achse.

Antwort anzeigen

B'(−4, −2)

Drehe C(3, 0) um 90° im Uhrzeigersinn um den Ursprung.

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C'(0, −3) [Formel: (x,y) → (y, −x)]