Flächen geometrischer Figuren

Lerne die Flächeninhaltsformeln für Rechteck, Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Kreis und andere Figuren.

Flächeninhaltsformeln

Rechteck und Quadrat

$A_{\text{Rechteck}} = l \times b$ $A_{\text{Quadrat}} = a^2$

Dreieck

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{g \times h}{2}$

wobei $g$ die Grundlinie und $h$ die zugehörige Höhe (senkrecht zur Grundlinie) ist.

Tipp

Die Höhe muss senkrecht (rechtwinklig) zur Grundlinie stehen. Beim stumpfwinkligem Dreieck liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks – das ist normal!

Parallelogramm

$A_{\text{Parallelogramm}} = g \times h$

(Grundlinie × Höhe – wie Rechteck, aber die Seiten sind schräg.)

Trapez

$A_{\text{Trapez}} = \frac{(a + c) \times h}{2}$

wobei $a$ und $c$ die parallelen Seiten und $h$ die Höhe zwischen ihnen ist.

Kreis und Kreissektoren

$A_{\text{Kreis}} = \pi r^2$ $A_{\text{Halbkreis}} = \frac{\pi r^2}{2}$ $A_{\text{Sektor}} = \frac{\alpha}{360°} \times \pi r^2$

wobei $\alpha$ der Mittelpunktswinkel in Grad ist.

Hinweis

$\pi \approx 3{,}14159...$ . Für Berechnungen verwende $\pi \approx 3{,}14$ oder die $\pi$ -Taste am Taschenrechner.

Einheitenumrechnung bei Flächen

$1 \text{ m}^2 = 10.000 \text{ cm}^2$ $1 \text{ km}^2 = 1.000.000 \text{ m}^2$ $1 \text{ ha} = 10.000 \text{ m}^2$

Warnung

Beim Umrechnen von Flächeneinheiten muss man den Umrechnungsfaktor quadrieren: $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ , aber $1 \text{ m}^2 = 100^2 \text{ cm}^2 = 10.000 \text{ cm}^2$ .

Übersicht der Formeln

Figur	Formel
Rechteck	$l \times b$
Quadrat	$a^2$
Dreieck	$\frac{g \times h}{2}$
Parallelogramm	$g \times h$
Trapez	$\frac{(a + c) \times h}{2}$
Kreis	$\pi r^2$
Halbkreis	$\frac{\pi r^2}{2}$

Praxisbezug: Bodenbelag verlegen

Ein Wohnzimmer ist 6 m lang und 4,5 m breit. Die Fläche beträgt $6 \times 4{,}5 = 27 \text{ m}^2$ . Laminat kostet 12,50 € pro m², also: $27 \times 12{,}50 = 337{,}50$ €. Wenn man zusätzlich 10 % Verschnitt einrechnet: $27 \times 1{,}1 = 29{,}7 \text{ m}^2$ bestellen. Flächenberechnungen sind beim Renovieren, Einrichten und beim Hausbau täglich notwendig.

Praxisbezug: Kreisrundes Wandgemälde

Ein Künstler möchte ein kreisrundes Wandgemälde mit einem Durchmesser von 3 m malen. Der Radius beträgt 1,5 m. Fläche: $A = \pi \times 1{,}5^2 = \pi \times 2{,}25 \approx 7{,}07 \text{ m}^2$ . Mit einem Liter Farbe pro 5 m² werden ca. 1,5 Liter benötigt. Kreisflächen spielen in Design, Architektur und Ingenieurwesen eine zentrale Rolle.

Praxisbezug: Landwirtschaft und Feldgröße

Ein trapezförmiges Feld hat parallele Seiten von 80 m und 120 m sowie eine Höhe von 60 m. Fläche: $\frac{(80 + 120) \times 60}{2} = 6.000 \text{ m}^2 = 0{,}6 \text{ ha}$ . Landwirte müssen Feldgrößen kennen, um Saatgut, Dünger und Wassermengen korrekt zu berechnen. Auch Grundstücksgutachter und Notare arbeiten täglich mit Flächenberechnungen.

Tipp Lerne die Formeln für Dreieck, Rechteck und Kreis auswendig – alle anderen Figuren lassen sich oft darauf zurückführen. Bei Flächeneinheiten immer daran denken: Einheiten werden quadriert, also ist 1 m = 100 cm, aber 1 m² = 10.000 cm².

Übungsaufgaben

Berechne die Fläche eines Dreiecks mit Grundlinie 8 cm und Höhe 5 cm.

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A = (8 × 5) / 2 = 20 cm²

Berechne die Fläche eines Kreises mit Radius 7 cm. (π ≈ 3,14)

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A = π × 7² = 3,14 × 49 ≈ 153,86 cm²

Berechne die Fläche eines Trapezes mit Parallelseiten 6 m und 10 m und Höhe 4 m.

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A = (6 + 10) × 4 / 2 = 16 × 4 / 2 = 32 m²