Zahlenmuster und Folgen

Lerne, wie man Zahlenmuster erkennt, Folgeregeln ausdrückt und den n-ten Term von arithmetischen und geometrischen Folgen findet.

Was sind Zahlenmuster?

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, die einem bestimmten Muster folgt. Jede Zahl in der Folge nennt man Term.

Beispiele:

$2, 4, 6, 8, 10, ...$ (gerade Zahlen, +2 pro Schritt)
$1, 4, 9, 16, 25, ...$ (Quadratzahlen)
$3, 6, 12, 24, ...$ (geometrisch, ×2 pro Schritt)

Arithmetische Folgen

In einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Termen konstant. Diese Differenz nennt man gemeinsame Differenz $d$ .

$d =$ (aktueller Term) − (vorheriger Term)

n-ter Term: $T_n = a + (n-1) \times d$

wobei $a$ = erster Term, $d$ = gemeinsame Differenz.

Beispiel: $5, 8, 11, 14, ...$

$a = 5$ , $d = 3$
$T_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2$
Zehnter Term: $T_{10} = 3 \times 10 + 2 = 32$

Hinweis

Die Formel $T_n = 3n + 2$ gilt für jede Position $n$ in der Folge. Einsetzen: $n = 1$ : $3(1)+2 = 5$ ✓; $n = 2$ : $3(2)+2 = 8$ ✓.

Geometrische Folgen

In einer geometrischen Folge wird jeder Term mit demselben Faktor, dem gemeinsamen Quotienten $q$ , multipliziert.

$T_n = a \times q^{n-1}$

Beispiel: $2, 6, 18, 54, ...$

$a = 2$ , $q = 3$
$T_n = 2 \times 3^{n-1}$
Fünfter Term: $T_5 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$

Tipp

Um die Art der Folge zu bestimmen:

Prüfe Differenzen (subtrahieren): wenn konstant → arithmetisch
Prüfe Quotienten (dividieren): wenn konstant → geometrisch

Besondere Zahlenfolgen

Folge	Beschreibung
$1, 4, 9, 16, ...$	Quadratzahlen: $n^2$
$1, 8, 27, 64, ...$	Kubikzahlen: $n^3$
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$	Fibonacci-Folge
$2, 3, 5, 7, 11, 13, ...$	Primzahlen
$1, 3, 6, 10, 15, ...$	Dreieckszahlen

Praxisbezug: Handytarife und Datenpläne

Ein Datentarif bietet im ersten Monat 2 GB, und jeder weitere Monat wird die Datenmenge um 3 GB erhöht. Das ist eine arithmetische Folge: $a = 2$ , $d = 3$ , also $T_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1$ . Im 10. Monat: $T_{10} = 3 \times 10 - 1 = 29$ GB. Unternehmen gestalten Tarife und Wachstumsprognosen häufig als arithmetische oder geometrische Folgen.

Praxisbezug: Zinsen und Geldanlage

Kapital wächst bei einem jährlichen Zinssatz von 5 % geometrisch. Aus 1.000 € werden: nach 1 Jahr 1.050 €, nach 2 Jahren 1.102,50 €, nach 3 Jahren 1.157,63 €... Das ist eine geometrische Folge mit $q = 1{,}05$ . Der Wert nach $n$ Jahren beträgt: $T_n = 1000 \times 1{,}05^{n-1}$ . Banken, Versicherungen und Investitionspläne basieren auf diesem Prinzip des exponentiellen Wachstums.

Praxisbezug: Bakterienwachstum in der Biologie

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 20 Minuten. Startet man mit 100 Bakterien, entsteht eine geometrische Folge: 100, 200, 400, 800... Nach $n$ Verdoppelungsschritten: $T_n = 100 \times 2^{n-1}$ . Nach 10 Schritten (200 Minuten): $100 \times 2^9 = 51.200$ Bakterien. Biologen, Mediziner und Epidemiologen nutzen geometrische Folgen, um Wachstumsprozesse zu modellieren und vorherzusagen.

Tipp Um den Typ einer Folge zu bestimmen: Bilde die Differenzen (subtrahiere aufeinanderfolgende Terme) – sind sie konstant, ist es arithmetisch. Bilde die Quotienten (dividiere) – sind sie konstant, ist es geometrisch.

Übungsaufgaben

Bestimme den n-ten Term der Folge: 4, 7, 10, 13, ...

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d = 3, a = 4. Tₙ = 4 + (n−1)×3 = 3n + 1

Was ist der 6. Term von: 2, 6, 18, 54, ...?

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q = 3, a = 2. T₆ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486

Welcher Term der Folge 3, 7, 11, 15, ... hat den Wert 47?

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Tₙ = 4n − 1 = 47 → 4n = 48 → n = 12. Es ist der 12. Term.