Quadratische Gleichungen

Lerne, quadratische Gleichungen mit der Lösungsformel, durch Faktorisierung und quadratische Ergänzung zu lösen.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

Im Gegensatz zu linearen Gleichungen kann sie zwei, eine oder keine reelle Lösung haben.

Methode 1: Lösungsformel (abc-Formel)

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ entscheidet über die Anzahl der Lösungen:

$D$	Lösungen
$D > 0$	zwei verschiedene reelle Lösungen
$D = 0$	genau eine reelle Lösung
$D < 0$	keine reelle Lösung

Beispiel: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ( $a=1, b=-5, c=6$ )

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$x_1 = 3 \quad x_2 = 2$

Hinweis

Das Zeichen $\pm$ bedeutet: berechne einmal mit $+$ (für $x_1$ ) und einmal mit $-$ (für $x_2$ ).

Methode 2: Faktorisierung

Falls die Gleichung faktorisierbar ist:

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0$

$\Rightarrow x = -2 \quad \text{oder} \quad x = -3$

Gesucht sind zwei Zahlen, deren Summe $b$ ergibt und deren Produkt $c$ ergibt.

Methode 3: Quadratische Ergänzung

$x^2 + 6x + 5 = 0$

1
Konstante auf die rechte Seite: $x^2 + 6x = -5$
2
Ergänze $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ auf beiden Seiten: $x^2 + 6x + 9 = 4$
3
Als Binomisches Quadrat schreiben: $(x + 3)^2 = 4$
4
Wurzel ziehen: $x + 3 = \pm 2$
5
Lösungen: $x_1 = -1$ , $x_2 = -5$

Tipp

Prüfe deine Lösungen, indem du $x_1$ und $x_2$ in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

Spezialfall: Keine lineare Terme

$x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$

Praxisbezug: Ballwurf und Flugbahn

Ein Ball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit aus einer Höhe von 1 m geworfen. Seine Höhe $h$ in Metern nach $t$ Sekunden beträgt: $h = -5t^2 + 10t + 1$ . Um zu bestimmen, wann der Ball den Boden erreicht ( $h = 0$ ), löst man: $5t^2 - 10t - 1 = 0$ . Mit der Lösungsformel ergibt sich $t \approx 2{,}1$ Sekunden. Physiker, Sportwissenschaftler und Ingenieure verwenden quadratische Gleichungen, um Wurfparabeln und Bewegungsabläufe zu modellieren.

Praxisbezug: Satellitenantenne und Parabolspiegel

Die Form einer Satellitenschüssel oder eines Parabolspiegels ist eine Parabel – der Graph einer quadratischen Funktion. Der Brennpunkt, an dem alle Signale gebündelt werden, lässt sich mithilfe quadratischer Gleichungen exakt berechnen. Auch Teleskope, Scheinwerfer und Solarthermie-Kollektoren nutzen Parabelformen, die auf quadratischen Gleichungen basieren.

Praxisbezug: Einzäunen einer rechteckigen Fläche

Mit 40 m Zaun soll eine rechteckige Fläche maximiert werden. Die Breite sei $x$ , dann ist die Länge $20 - x$ . Die Fläche beträgt $A = x(20 - x) = 20x - x^2$ . Um die maximale Fläche zu finden, setzt man die Ableitung null oder stellt fest, dass das Maximum bei $x = 10$ liegt (Quadrat). Quadratische Gleichungen sind damit ein zentrales Optimierungswerkzeug in Landwirtschaft, Bauwesen und Wirtschaft.

Tipp Berechne immer zuerst die Diskriminante

D = b^2 - 4ac

. Ist

D < 0

, gibt es keine reellen Lösungen – du sparst dir unnötige Rechnungen. Ist

D \geq 0

, kannst du die abc-Formel sicher anwenden und das Ergebnis durch Einsetzen prüfen.

Übungsaufgaben

Löse mit der Lösungsformel: x² − 7x + 12 = 0

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D = 49 − 48 = 1; x = (7 ± 1)/2 → x₁ = 4, x₂ = 3

Faktorisiere und löse: x² + x − 6 = 0

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(x + 3)(x − 2) = 0 → x₁ = −3, x₂ = 2

Wie viele reelle Lösungen hat x² + 2x + 5 = 0?

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D = 4 − 20 = −16 < 0 → keine reelle Lösung