Quadrat- und Kubikzahlen

Lerne Quadratzahlen, Kubikzahlen und Potenzen kennen – und wie man Quadratwurzeln berechnet.

Quadratzahlen

Eine Quadratzahl entsteht, wenn eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird:

$n^2 = n \times n$

$n$	$n^2$
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
10	100
12	144

Hinweis

Geometrisch entspricht $n^2$ der Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge $n$ .

Kubikzahlen

Eine Kubikzahl entsteht, wenn eine Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert wird:

$n^3 = n \times n \times n$

$n$	$n^3$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
10	1000

Kubikzahlen entsprechen geometrisch dem Volumen eines Würfels mit Kantenlänge $n$ .

Potenzen allgemein

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ Mal}}$

$a$ = Basis, $n$ = Exponent

Rechenregeln: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ $a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$

Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens:

$\sqrt{n^2} = n \quad \text{für } n \geq 0$

$\sqrt{25} = 5 \quad \sqrt{144} = 12 \quad \sqrt{2} \approx 1{,}414$

Warnung

Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert im Bereich der reellen Zahlen.

Kubikwurzeln

$\sqrt[3]{27} = 3 \quad \sqrt[3]{64} = 4 \quad \sqrt[3]{8} = 2$

Praxisbezug: Quadratisches Hofpflastern

Ein quadratischer Innenhof soll mit Pflastersteinen ausgelegt werden. Die Seite beträgt 8 m. Fläche: $8^2 = 64 \text{ m}^2$ . Jeder Pflasterstein bedeckt 0,04 m², also werden $64 \div 0{,}04 = 1.600$ Steine benötigt. Bei 2,50 € pro Stein: $1.600 \times 2{,}50 = 4.000$ €. Quadratzahlen werden täglich bei der Berechnung von quadratischen Flächen – von Gärten über Dachflächen bis Wandbelägen – verwendet.

Praxisbezug: Pythagorische Tripel im Bauwesen

Das bekannte pythagorische Tripel 3-4-5 basiert auf Quadratzahlen: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ . Bauarbeiter nutzen es täglich zum rechtwinkligen Abstecken: Messe 3 m in eine Richtung, 4 m in eine andere – ist die Diagonale genau 5 m, ist der Winkel exakt 90°. Weitere Tripel: 5-12-13 ( $25+144=169$ ), 8-15-17. Quadratzahlen sind das Fundament des Satz des Pythagoras.

Praxisbezug: Datenspeicherung und Computerleistung

Computerspeicher wächst in Potenzen von 2: 1 KB = $2^{10}$ = 1.024 Byte, 1 MB = $2^{20}$ , 1 GB = $2^{30}$ . Auch Prozessorleistungen verdoppeln sich ungefähr alle zwei Jahre (Mooresches Gesetz) – ein exponentielles Wachstum basierend auf Potenzen. Das Verstehen von Potenzen und ihrer schnellen Zunahme ist entscheidend für das Verständnis digitaler Technologie und Informatik.

Tipp Lerne die Quadratzahlen bis 15 auswendig (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225). Sie erscheinen ständig in Geometrie, Algebra und beim Überprüfen von Pythagoras-Tripeln. Die Kubikzahlen bis 5 (1, 8, 27, 64, 125) sind ebenfalls nützlich zu kennen.

Übungsaufgaben

Berechne 7².

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7² = 7 × 7 = 49

Berechne √169.

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√169 = 13, da 13² = 169

Vereinfache: 2³ × 2⁴

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2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128