Primfaktorzerlegung

Was sind Primzahlen?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Die ersten Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Was ist Primfaktorzerlegung?

Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Das nennt man Primfaktorzerlegung.

$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$

Primfaktorbaum

1. 1

   Schreibe die Zahl oben hin.
2. 2

   Finde zwei Faktoren (mindestens einer davon keine Primzahl).
3. 3

   Verzweige: Schreibe die beiden Faktoren darunter.
4. 4

   Unterteile zusammengesetzte Zahlen weiter, bis alle Blätter Primzahlen sind.
5. 5

   Lies die Primfaktoren aus den Blättern des Baums ab.

Beispiel: 60

        60
       /   \
      6    10
     / \  /  \
    2   3 2   5

$60 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

Strichmethode (fortlaufendes Dividieren)

$90 = 2 \times 3^2 \times 5$

ggT mit Primfaktorzerlegung

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren (kleinste Potenzen).

$36 = 2^2 \times 3^2 \quad 48 = 2^4 \times 3$ $\text{ggT}(36, 48) = 2^2 \times 3 = 12$

kgV mit Primfaktorzerlegung

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist das Produkt der größten vorkommenden Primfaktorpotenzen.

$\text{kgV}(36, 48) = 2^4 \times 3^2 = 144$