Negative Zahlen

Lerne, was negative Zahlen sind, wie man sie auf dem Zahlenstrahl darstellt und wie man grundlegende Rechenoperationen mit ihnen durchführt.

Was sind negative Zahlen?

Negative Zahlen sind Zahlen kleiner als null. Sie werden mit einem Minuszeichen geschrieben: $-3$ , $-7{,}5$ , $-100$ .

Negative Zahlen kommen in vielen Alltags-Situationen vor:

Temperatur: −10 °C (10 Grad unter null)
Schulden: −50 € (50 Euro minus)
Meereshöhe: −400 m (unter dem Meeresspiegel, z. B. Totes Meer)
Stockwerke: UG1 = −1 (unter dem Erdgeschoss)

Der Zahlenstrahl

$... \leftarrow -5\ -4\ -3\ -2\ -1\ \mathbf{0}\ 1\ 2\ 3\ 4\ 5 \rightarrow ...$

Zahlen links von der 0 sind negativ
Zahlen rechts von der 0 sind positiv
Je weiter links, desto kleiner die Zahl: $-5 < -3$

Hinweis

$-5 < -3$ (minus fünf ist kleiner als minus drei), obwohl 5 größer als 3 ist. Auf dem Zahlenstrahl liegt −5 weiter links als −3.

Sortieren und Vergleichen

Beispiel: Ordne von klein nach groß: $3, -1, -5, 0, 2$

Lösung: $-5 < -1 < 0 < 2 < 3$

Addition und Subtraktion

Addition:

Positive + positive = positiv: $4 + 3 = 7$
Negative + negative = negativ: $-4 + (-3) = -7$
Positiv + negativ: wähle das größere und subtrahiere: $4 + (-7) = -3$

Subtraktion: Subtrahieren = addieren der entgegengesetzten Zahl: $6 - (-2) = 6 + 2 = 8$ $-5 - (-3) = -5 + 3 = -2$

Multiplikation und Division

× oder ÷	+	−
+	+	−
−	−	+

$(-3) \times 4 = -12$ $(-3) \times (-4) = 12$ $12 \div (-3) = -4$

Tipp

Einfache Regel: Gleiche Vorzeichen → positives Ergebnis. Verschiedene Vorzeichen → negatives Ergebnis. (Gilt für Multiplikation und Division)

Betrag einer Zahl

Der Betrag $|a|$ einer Zahl ist ihr Abstand von null (immer ≥ 0): $|{-7}| = 7, \quad |5| = 5, \quad |0| = 0$

Praxisbezug: Temperaturen im Winter

An einem Wintertag in Kanada beträgt die Temperatur −22 °C. Am Nachmittag steigt sie um 15 Grad: $-22 + 15 = -7$ °C. Immer noch kalt, aber wärmer als am Morgen. Nachts fällt die Temperatur wieder um 12 Grad: $-7 - 12 = -19$ °C. Meteorologen, Polarforscher und Klimawissenschaftler rechnen täglich mit negativen Temperaturen.

Praxisbezug: Überziehungskredit und Bankkonten

Emma hat 85 € auf dem Konto. Sie kauft ein Buch für 120 €: $85 - 120 = -35$ €. Ihr Konto ist überzogen. Sie zahlt 50 € ein: $-35 + 50 = 15$ €. Bankdaten, Unternehmensbilanzen, Gewinn-und-Verlust-Rechnungen und Kreditkartenabrechnungen verwenden negative Zahlen, um Schulden, Verluste und Überziehungen darzustellen.

Praxisbezug: Meereshöhe und Geographie

Das Tote Meer liegt bei −430 m Meereshöhe – dem tiefsten Punkt der Erde an Land. Der höchste Berg, der Mount Everest, liegt bei +8.848 m. Die Differenz: $8.848 - (-430) = 8.848 + 430 = 9.278$ m. Geographen, Kartographen und Satellitenmessungen nutzen negative Höhenangaben für Tiefen unter dem Meeresspiegel.

Tipp Denke an den Zahlenstrahl: Links = kleiner (negativer), rechts = größer (positiver). Beim Subtrahieren einer negativen Zahl bewegt man sich nach rechts – also ins Positive. Merke: Minus minus = Plus.

Übungsaufgaben

Ordne von klein nach groß: −4, 2, −1, 0, −8

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−8 < −4 < −1 < 0 < 2

Berechne: −6 − (−4)

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−6 − (−4) = −6 + 4 = −2

Berechne: (−3) × (−5)

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15 (neg. × neg. = positiv)