Verhältnisse und Proportionen

Lerne, Verhältnisse zu schreiben und zu vereinfachen, sowie proportionale Zuordnungen zu erkennen und zu berechnen.

Was ist ein Verhältnis?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen miteinander. Man schreibt es als $a : b$ oder als Bruch $\frac{a}{b}$ .

Beispiel: Im Glas sind 3 Teile Saft und 5 Teile Wasser → Verhältnis Saft : Wasser = $3 : 5$

Verhältnisse vereinfachen

Kürze durch den ggT beider Zahlen:

$12 : 8 = 3 : 2 \quad (\div 4)$

$\frac{15}{25} = \frac{3}{5} \quad (\div 5)$

Hinweis

Ein Verhältnis $a : b$ ist gleichwertig zu jedem Verhältnis $ka : kb$ für $k \neq 0$ .

Was ist eine Proportion?

Zwei Verhältnisse sind proportional (gleich), wenn gilt:

$a : b = c : d \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Leftrightarrow \quad ad = bc$

Kreuzregel: $a \times d = b \times c$ (Kreuzprodukt)

Unbekannte in Proportionen berechnen

$\frac{3}{4} = \frac{x}{12} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3 \times 12}{4} = 9$

Dreisatz

Der Dreisatz löst proportionale Alltagsaufgaben in drei Schritten:

Beispiel: 5 Äpfel kosten 2,50 €. Was kosten 8 Äpfel?

Schritt	Rechnung
Ausgangswert	5 Äpfel → 2,50 €
÷ auf 1	1 Apfel → 0,50 €
× auf 8	8 Äpfel → 4,00 €

Proportionale Aufteilung

Teile 60 € im Verhältnis 2 : 3:

Gesamtanteile: $2 + 3 = 5$
1 Anteil: $60 \div 5 = 12$ €
1. Person: $2 \times 12 = 24$ €
1. Person: $3 \times 12 = 36$ €

Tipp

Rechenprobetipp: Addiere die Teile wieder zusammen – sie müssen den Gesamtbetrag ergeben.

Praxisbezug: Kartenmaßstab und Reiseplanung

Eine Wanderkarte hat den Maßstab 1 : 25.000. Das Verhältnis 1 : 25.000 bedeutet: 1 cm auf der Karte entspricht 25.000 cm = 250 m in der Realität. Ein Weg auf der Karte ist 7 cm lang: $7 \times 250 = 1.750$ m = 1,75 km. Kartenmaßstäbe sind direkte Anwendungen von Verhältnissen und werden von Wanderern, Piloten, Seeleuten und Stadtplanern täglich verwendet.

Praxisbezug: Farben mischen im Handwerk

Ein Maler möchte ein bestimmtes Blaugrau mischen. Das Farbrezept lautet: Weiß zu Blau im Verhältnis 5 : 2. Er braucht 3,5 Liter Gesamtmenge. Gesamtanteile: $5 + 2 = 7$ . Weiß: $\frac{5}{7} \times 3{,}5 = 2{,}5$ L. Blau: $\frac{2}{7} \times 3{,}5 = 1$ L. Maler, Grafiker und Industriedesigner müssen Verhältnisse beim Mischen von Farben, Lacken und Materialien präzise einhalten.

Praxisbezug: Rezept umrechnen (Kochkunst)

Ein Brotrezept für 12 Portionen braucht 450 g Mehl, 7 g Salz und 300 ml Wasser. Wenn 20 Portionen gewünscht werden, ist der Skalierungsfaktor $\frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ . Mehl: $450 \times \frac{5}{3} = 750$ g. Dreisatz und Proportionen sind das Herzstück jeder Rezeptberechnung in Restaurants, Bäckereien und der Lebensmittelindustrie.

Tipp Beim Dreisatz immer drei Schritte: erst auf 1 reduzieren (dividieren), dann auf die gesuchte Menge hochrechnen (multiplizieren). Prüfe dein Ergebnis: Ist das Verhältnis der Ergebnisse dasselbe wie das Verhältnis der Ausgangsmengen?

Übungsaufgaben

Vereinfache das Verhältnis 24 : 36.

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ggT(24, 36) = 12; 24 : 36 = 2 : 3

Löse die Proportion: 5/8 = x/40

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x = (5 × 40) / 8 = 200 / 8 = 25

Teile 90 € im Verhältnis 1 : 2 auf.

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Gesamtanteile: 3. 1 Anteil = 30 €. Aufteilung: 30 € und 60 €.