Das Koordinatensystem

Lerne das kartesische Koordinatensystem – Koordinaten ablesen, Punkte einzeichnen und einfache geometrische Figuren darstellen.

Das kartesische Koordinatensystem

Das Koordinatensystem (auch kartesisches Koordinatensystem) besteht aus zwei senkrecht zueinander stehenden Zahlengeraden:

x-Achse (waagerecht) – positive Werte nach rechts, negative nach links
y-Achse (senkrecht) – positive Werte nach oben, negative nach unten
Ursprung (0, 0) – Schnittpunkt der Achsen

Die vier Quadranten:

Quadrant	x	y
I (oben rechts)	+	+
II (oben links)	−	+
III (unten links)	−	−
IV (unten rechts)	+	−

Koordinaten lesen und schreiben

Ein Punkt wird als Koordinatenpaar (x, y) angegeben:

x-Koordinate: wie weit rechts (oder links) vom Ursprung
y-Koordinate: wie weit oben (oder unten) vom Ursprung

Beispiel: Punkt $A(3, 5)$ liegt 3 Einheiten rechts und 5 Einheiten oben vom Ursprung.

Tipp

Merkregel: Man liest Koordinaten immer in der Reihenfolge (x, y) – also zuerst waagerecht, dann senkrecht. Merke: „Um die Ecke und dann hoch" oder „geh zuerst auf der Straße, dann in den Aufzug."

Punkte einzeichnen

1
Starte am Ursprung (0, 0).
2
Bewege dich entsprechend dem x-Wert nach rechts (+) oder links (−).
3
Von dieser Position aus bewege dich entsprechend dem y-Wert nach oben (+) oder unten (−).
4
Markiere den Punkt und beschrifte ihn.

Abstand zwischen zwei Punkten

Für zwei Punkte $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ :

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Beispiel: Abstand von $(1, 2)$ nach $(4, 6)$ : $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Mittelpunkt zweier Punkte

$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Praxisbezug: GPS und Navigationssysteme

GPS-Systeme nutzen ein globales Koordinatensystem (Längen- und Breitengrade), um jeden Punkt auf der Erde präzise zu beschreiben. Wenn ein Navigationsgerät den Abstand zwischen zwei Orten berechnet, wendet es die Abstandsformel auf Koordinaten an – genau wie in der Mathematik. Das Prinzip des kartesischen Koordinatensystems ist die Grundlage jeder digitalen Karte.

Praxisbezug: Computerspiele und Spieldesign

In Videospielen bestimmt das Koordinatensystem die Position jeder Spielfigur, jedes Gegenstands und jeder Spielwelt. Wenn eine Spielfigur von Punkt (3, 2) zu Punkt (7, 5) läuft, berechnet das Spiel automatisch den Abstand und die Bewegungsrichtung. Spielentwickler arbeiten täglich mit x/y-Koordinaten – ein direktes Anwendungsfeld der Schulgeometrie.

Praxisbezug: Wetterkarten und Datenvisualisierung

Meteorologen tragen Messdaten in Koordinatensysteme ein: Die x-Achse zeigt die Zeit (Stunden oder Tage), die y-Achse zeigt Temperatur, Niederschlag oder Windgeschwindigkeit. Durch das Ablesen von Koordinatenpunkten auf dem Graphen können Vorhersagen getroffen werden. Koordinatensysteme sind das universelle Werkzeug der Datenanalyse in Wissenschaft und Wirtschaft.

Tipp Beim Lesen von Koordinaten immer zuerst den x-Wert (waagerecht), dann den y-Wert (senkrecht) ablesen – wie das Lesen einer Landkarte: zuerst die Spalte, dann die Zeile.

Übungsaufgaben

In welchem Quadranten liegt der Punkt (−4, 3)?

Antwort anzeigen

Im zweiten Quadranten (x negativ, y positiv).

Berechne den Abstand zwischen A(0, 0) und B(3, 4).

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d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Berechne den Mittelpunkt zwischen P(2, 6) und Q(8, 2).

Antwort anzeigen

M = ((2+8)/2, (6+2)/2) = (5, 4)