Grundlagen der Statistik

Lerne die wichtigsten statistischen Kennwerte – Mittelwert, Median, Modus und Spannweite – kennen und anwenden.

Was ist Statistik?

Statistik ist die Wissenschaft vom Sammeln, Ordnen, Auswerten und Darstellen von Daten. In der Schule lernst du die wichtigsten Maße der zentralen Tendenz und Streumaße kennen.

Datensatz ordnen

Vor der Auswertung werden Daten immer aufsteigend sortiert.

Beispiel: 7, 3, 9, 3, 5 → geordnet: 3, 3, 5, 7, 9

Mittelwert (Arithmetisches Mittel)

$\bar{x} = \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$

Beispiel: 3, 3, 5, 7, 9

$\bar{x} = \frac{3+3+5+7+9}{5} = \frac{27}{5} = 5{,}4$

Warnung

Der Mittelwert wird durch Ausreißer stark beeinflusst. Ein sehr großer oder kleiner Wert kann ihn verschieben.

Median (Zentralwert)

Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Datenreihe.

Ungerade Anzahl: mittlerer Wert
Gerade Anzahl: Durchschnitt der beiden mittleren Werte

Beispiel: 3, 3, 5, 7, 9 → Median = 5

Gerade Anzahl: 2, 4, 6, 8 → Median = $\frac{4+6}{2} = 5$

Modus (Häufigster Wert)

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Beispiel: 3, 3, 5, 7, 9 → Modus = 3

Hinweis

Es kann mehrere Modi geben (bimodal) oder gar keinen, wenn alle Werte gleich oft vorkommen.

Spannweite

$\text{Spannweite} = x_\text{max} - x_\text{min}$

Beispiel: 3, 3, 5, 7, 9 → Spannweite = $9 - 3 = 6$

Zusammenfassung

Maß	Berechnung	Eigenschaft
Mittelwert	Summe ÷ Anzahl	sensitiv für Ausreißer
Median	mittlerer Wert	robust gegenüber Ausreißern
Modus	häufigster Wert	für nominale Daten geeignet
Spannweite	max − min	einfaches Streumaß

Praxisbezug: Fußball-Ligastatistik

Am Ende der Bundesliga-Saison werden die Toranzahlen aller Spieler ausgewertet. Der Mittelwert der erzielten Tore berechnet die durchschnittliche Torausbeute. Der Median zeigt den mittleren Wert – nützlich, weil Top-Torschützen als Ausreißer den Mittelwert verzerren würden. Sportjournalisten, Trainer und Scouter verwenden statistische Kennwerte, um Spielerleistungen zu vergleichen und Transferentscheidungen zu treffen.

Praxisbezug: Wetterdaten und Temperaturauswertung

Ein Meteorologe wertet die Tageshöchsttemperaturen im Juli aus: 24, 27, 31, 29, 22, 35, 26, 28, 30, 33 °C. Mittelwert: $(24+27+31+...)/10 = 28{,}5$ °C. Spannweite: $35 - 22 = 13$ °C. Der Median liegt bei $(28+29)/2 = 28{,}5$ °C. Klimastationen und Wetterdienste berechnen täglich Mittelwerte und Extremwerte für Berichte, Prognosen und Klimaforschung.

Praxisbezug: Schuhgrößen im Schuhhandel

Ein Schuhgeschäft analysiert die Verkäufe eines Monats: Welche Schuhgröße wurde am häufigsten verkauft (Modus)? Welche Größe liegt in der Mitte aller Bestellungen (Median)? Diese Daten helfen beim Lagermanagement: Der Modus zeigt, welche Größen am meisten vorrätig sein müssen, der Median die typische Kundengröße. Statistik ist ein grundlegendes Werkzeug für datengestützte Entscheidungen in Handel, Industrie und Wissenschaft.

Tipp Wähle das richtige Lagemaß für die Situation: Den Mittelwert für gleichmäßige Daten ohne Ausreißer, den Median wenn Ausreißer die Daten verzerren (z. B. Gehälter, Immobilienpreise), den Modus für kategoriale Daten (z. B. beliebteste Farbe, meistgekaufte Größe).

Übungsaufgaben

Datensatz: 4, 8, 6, 4, 8, 10, 4. Berechne Mittelwert, Median und Modus.

Antwort anzeigen

Sortiert: 4, 4, 4, 6, 8, 8, 10. Mittelwert = 44/7 ≈ 6,3. Median = 6. Modus = 4.

Was ist die Spannweite des Datensatzes: 15, 23, 7, 31, 19?

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Spannweite = 31 − 7 = 24

Datensatz: 12, 15, 18, 21. Berechne den Median.

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Median = (15 + 18)/2 = 16,5