Ganze Zahlen

Lerne, was ganze Zahlen sind, wie man mit ihnen rechnet und wie man Rechenoperationen mit positiven und negativen Zahlen durchführt.

Was sind ganze Zahlen?

Ganze Zahlen ( $\mathbb{Z}$ ) umfassen alle positiven, negativen Zahlen und die Null: $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$

Auf dem Zahlenstrahl liegen positive Zahlen rechts vom Nullpunkt und negative Zahlen links.

Addition ganzer Zahlen

Regel: Gleiches Vorzeichen → Beträge addieren, Vorzeichen beibehalten. Verschiedenes Vorzeichen → kleineren Betrag vom größeren subtrahieren, Vorzeichen des größeren Betrags übernehmen.

$5 + 3 = 8$ $-5 + (-3) = -8$ $5 + (-3) = 2$ $-5 + 3 = -2$

Tipp

Zahlenstrahl-Methode: Addition bedeutet: nach rechts gehen (positive Zahl) oder nach links gehen (negative Zahl). Starte bei der ersten Zahl.

Subtraktion ganzer Zahlen

$\text{Subtrahieren} = \text{addieren der entgegengesetzten Zahl}$

$5 - 3 = 5 + (-3) = 2$ $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ $-5 - 3 = -5 + (-3) = -8$ $-5 - (-3) = -5 + 3 = -2$

Warnung

Zwei Minuszeichen: Minus minus = Plus! $8 - (-2) = 8 + 2 = 10$

Multiplikation und Division

Vorzeichen	Ergebnis
$(+) \times (+)$	$(+)$
$(-) \times (-)$	$(+)$
$(+) \times (-)$	$(-)$
$(-) \times (+)$	$(-)$

Beispiele: $3 \times (-4) = -12$ $(-6) \times (-2) = 12$ $(-15) \div 3 = -5$ $(-20) \div (-4) = 5$

Hinweis

Die Vorzeichen-Regeln gelten genauso für Division: Gleiche Vorzeichen → positiv; verschiedene Vorzeichen → negativ.

Reihenfolge der Operationen

Punkt- vor Strichrechnung (KLAMMERN → POTENZEN → PUNKT → STRICH):

$3 + 2 \times (-4) = 3 + (-8) = -5$ $(-2)^3 = -8$

Praxisbezug: Stockwerke und Aufzüge

Ein Gebäude hat ein Erdgeschoss (0), drei Untergeschosse (−1, −2, −3) und zehn Obergeschosse (1 bis 10). Wer im 7. Stock ist und den Aufzug 9 Etagen nach unten fährt, landet bei: $7 + (−9) = −2$ – also im zweiten Untergeschoss. Negative ganze Zahlen begegnen uns in Aufzügen, Parkhäusern, Tiefgaragen und U-Bahn-Stationen täglich.

Praxisbezug: Kontostand und Überziehungskredit

Lukas hat 120 € auf seinem Konto und gibt 180 € für ein Konzertticket aus. Sein Kontostand: $120 - 180 = -60$ €. Er hat sein Konto um 60 € überzogen. Wenn er am nächsten Tag 50 € einzahlt: $-60 + 50 = -10$ €. Negative Zahlen in Bankkonten, Schulden und Unternehmensbilanzen sind reale Alltagsanwendungen der Mathematik ganzer Zahlen.

Praxisbezug: Temperaturänderungen in der Wissenschaft

In einem Chemie-Experiment wird eine Substanz von −15 °C auf 38 °C erhitzt. Die Temperaturänderung: $38 - (-15) = 38 + 15 = 53$ °C. In der Materialforschung, Lebensmitteltechnologie und Meteorologie werden Temperaturänderungen mit negativen Zahlen dargestellt und berechnet. Dieses Konzept ist grundlegend für Naturwissenschaft und Technik.

Tipp Die einfachste Regel: Minus mal Minus ergibt Plus. Wenn du unsicher bist, stelle dir den Zahlenstrahl vor: Addition nach rechts, Subtraktion nach links. Minus einer negativen Zahl bedeutet, du bewegst dich nach rechts – also ins Positive.

Übungsaufgaben

Berechne: −7 + 4

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−3 (Verschiedene Vorzeichen, |7| − |4| = 3, Vorzeichen des größeren Betrags: −)

Berechne: −6 − (−9)

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−6 − (−9) = −6 + 9 = 3

Berechne: (−4) × (−5)

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20 (Beide negativ → positives Ergebnis)