Algebraische Ausdrücke

Lerne, wie man algebraische Ausdrücke vereinfacht, ausklammert und mit der Distributivität umgeht.

Was ist ein algebraischer Ausdruck?

Ein algebraischer Ausdruck ist eine Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen: $3x + 2y - 5$ , $4a^2 - 7b$ , $\frac{x+1}{2}$

Begriff	Beschreibung	Beispiel
Term	Teil eines Ausdrucks, getrennt durch + oder −	$3x$ , $-5$
Koeffizient	Zahlenfaktor vor der Variable	$3$ in $3x$
Konstante	Zahlenterm ohne Variable	$-5$
Gleichartige Terme	Selbe Variable(n) und Potenzen	$3x$ und $7x$

Gleichartige Terme zusammenfassen

Man kann nur gleichartige Terme (like terms) addieren oder subtrahieren:

$5x + 3y - 2x + y = 3x + 4y$

Schritte:

Gleichartige Terme identifizieren
Koeffizienten addieren/subtrahieren
Variable schreiben

Warnung

$3x^2$ und $3x$ sind keine gleichartigen Terme! Die Potenzen sind verschieden.

Distributivitätsgesetz (Klammern auflösen)

$a(b + c) = ab + ac$

Beispiele: $3(x + 4) = 3x + 12$ $-2(y - 5) = -2y + 10$ $4(2a + 3b - 1) = 8a + 12b - 4$

Tipp

Beim Auflösen mit negativem Vorzeichen ändert sich das Vorzeichen aller Terme in der Klammer: $-(x - 3) = -x + 3$

Ausklammern (Faktorisieren)

Ausklammern ist die Umkehroperation zur Distributivität:

$6x + 10 = 2(3x + 5)$ $x^2 - 4x = x(x - 4)$ $12a + 8b = 4(3a + 2b)$

1
Den größten gemeinsamen Faktor (ggT) aller Terme finden.
2
Diesen Faktor vor die Klammer schreiben.
3
Den verbleibenden Ausdruck in der Klammer anschreiben.
4
Probe: Klammer ausmultiplizieren und mit Original vergleichen.

Ausdrücke auswerten

Einen Ausdruck für gegebene Werte berechnen:

$\text{Für } x = 3: \quad 2x^2 - 5x + 1 = 2(9) - 15 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4$

Praxisbezug: Handytarif berechnen

Ein Mobilfunktarif kostet monatlich 9 € Grundgebühr plus 0,05 € pro Minute. Der Gesamtpreis für $m$ Minuten lautet: $K = 9 + 0{,}05m$ . Bei 100 Minuten: $K = 9 + 0{,}05 \times 100 = 9 + 5 = 14$ €. Algebraische Ausdrücke ermöglichen es, Tarifangebote miteinander zu vergleichen und den günstigsten Anbieter für das eigene Nutzungsverhalten zu finden.

Praxisbezug: Arbeitslohn berechnen

Eine Studentin verdient 12 € pro Stunde. Wenn sie $h$ Stunden arbeitet und außerdem einen Bonus von 20 € erhält, ist ihr Gesamtverdienst: $V = 12h + 20$ . Das Ausklammern ergibt $V = 4(3h + 5)$ . Solche Ausdrücke helfen dabei, Gehaltsabrechnungen zu verstehen, Steuerberechnungen zu planen und finanzielle Entscheidungen zu treffen.

Praxisbezug: Tabellenkalkulationen und Formeln

In Excel oder Google Tabellen schreibt man Formeln wie =A2*3 + B2 - 5. Das ist exakt das algebraische Konzept eines Ausdrucks: eine Variable (A2 oder B2) wird mit einem Koeffizienten multipliziert und Konstanten addiert oder subtrahiert. Tabellenkalkulationen werden in Buchhaltung, Projektmanagement und Wissenschaft täglich verwendet – wer algebraische Ausdrücke versteht, meistert digitale Werkzeuge schneller.

Tipp Fasse immer zuerst gleichartige Terme zusammen, bevor du Klammern auflöst. Überprüfe jedes Ergebnis mit einer Probe: Setze eine konkrete Zahl für die Variable ein und vergleiche den Original- und vereinfachten Ausdruck.

Übungsaufgaben

Vereinfache: 5x + 3 - 2x + 7

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3x + 10

Multipliziere aus: 4(3x − 2)

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12x − 8

Klammere aus: 15x + 10

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5(3x + 2)