Vnútorné uhly mnohouholníkov

Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka závisí len od počtu strán. Pre n-uholník je súčet (n − 2) × 180°. Pravidelné mnohouholníky majú všetky uhly rovnaké, takže každý vnútorný uhol = súčet ÷ n.

Čo je mnohouholník?

Mnohouholník je uzavretý plochý tvar s rovnými stranami.

Strany	Názov
3	Trojuholník
4	Štvoruholník
5	Päťuholník
6	Šesťuholník
8	Osemuholník
10	Desaťuholník

Vzorec pre súčet vnútorných uhlov

Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka

\text{Súčet vnútorných uhlov} = (n - 2) \times 180°

n = počet strán

Odkiaľ to pochádza? Každý mnohouholník sa dá rozdeliť na trojuholníky uhlopriečkami z jedného vrcholu. $n$ -uholník sa rozdelí na $(n-2)$ trojuholníkov, každý s uhlami 180°.

Tvar	$n$	$(n-2) \times 180°$
Trojuholník	3	180°
Štvoruholník	4	360°
Päťuholník	5	540°
Šesťuholník	6	720°

Každý uhol pravidelného mnohouholníka

Pravidelný mnohouholník má všetky strany rovnako dlhé a všetky uhly rovnaké.

$\text{Každý vnútorný uhol} = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

Každý uhol pravidelného šesťuholníka

$\text{Každý uhol} = \frac{(6-2) \times 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°$

Vonkajšie uhly

Vonkajší uhol vznikne predĺžením jednej strany. Pre akýkoľvek mnohouholník:

$\text{Súčet vonkajších uhlov} = 360° \quad \text{(vždy)}$

Pre pravidelný mnohouholník je každý vonkajší uhol = $360° \div n$ .

Tip

Vnútorný uhol + vonkajší uhol = 180° (sú na jednej priamke).

Prax: šesťuholníkové dlaždice

Pravidelné šesťuholníkové dlaždice majú vnútorné uhly $\frac{(6-2) \times 180°}{6} = 120°$ .

Tri dlaždice pri jednom bode dávajú $3 \times 120° = 360°$ — presne plný uhol. Preto šesťuholníky dokonale pokryjú podlahu bez medzier.

Prax: značka STOP

Značka STOP je pravidelný osemuholník. Každý vnútorný uhol je $\frac{(8-2) \times 180°}{8} = 135°$ .

Jej tvar je rozpoznateľný z každého smeru — vzorec pre vnútorné uhly vysvetľuje jej geometriu.

Prax: futbalová lopta

Tradičná futbalová lopta spája pravidelné päťuholníky (vnútorný uhol 108°) a šesťuholníky (120°). Presne tieto uhly umožňujú, aby sa ploché panely po zošití zakrivili do takmer guľového tvaru.

Cvičné príklady

Nájdi súčet vnútorných uhlov osemuholníka (8 strán).

Zobraziť odpoveď

(8 − 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°

Každý vnútorný uhol pravidelného mnohouholníka je 135°. Koľko má strán?

Zobraziť odpoveď

Vonkajší uhol = 180° − 135° = 45°. Počet strán = 360° ÷ 45° = 8 strán (pravidelný osemuholník).

Tri uhly štvoruholníka sú 85°, 110° a 95°. Nájdi štvrtý uhol.

Zobraziť odpoveď

Súčet = 360°. Štvrtý uhol = 360° − 85° − 110° − 95° = 70°.