Stred úsečky a vzdialenosť dvoch bodov

Stred úsečky je bod presne v polovici medzi jej krajnými bodmi. Vzorec na vzdialenosť využíva Pytagorovu vetu na výpočet priamočiarej vzdialenosti medzi dvoma bodmi na súradnicovej sústave.

Vzorec pre stred úsečky

Stred $S$ úsečky s krajnými bodmi $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_2)$ je:

Stred úsečky

S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Spriemeruj x-súradnice a y-súradnice

Jednoducho: sčítaj obe x-hodnoty a vydeľ 2; sčítaj obe y-hodnoty a vydeľ 2.

Nájdi stred úsečky A(2, 4) a B(8, 10)

$S = \left(\frac{2+8}{2},\; \frac{4+10}{2}\right) = (5, 7)$

Vzorec na vzdialenosť

Vzdialenosť $d$ medzi bodmi $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_2)$ vychádza z Pytagorovej vety:

Vzorec na vzdialenosť

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Umocni rozdiel x-súradníc, pripočítaj umocnený rozdiel y-súradníc a výsledok odmocni

Nájdi vzdialenosť medzi A(1, 2) a B(4, 6)

Rozdiel v x: $4 - 1 = 3$

Rozdiel v y: $6 - 2 = 4$

$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Poznámka

Na poradí odčítania nezáleží, pretože rozdiely umocníme. $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$ .

Súvislosť oboch vzorcov

Stred úsečky $A(1,2)$ a $B(4,6)$ je $(2{,}5, 4)$ a vzdialenosť od tohto stredu ku každému krajnému bodu je $5/2 = 2{,}5$ jednotky.

Prax: plánovanie zastávky na ceste

Dve mestá majú súradnice A(10, 20) a B(50, 80) na mape (km). Stredný bod je $M = \left(\frac{10+50}{2},\; \frac{20+80}{2}\right) = (30, 50)$ .

Na mape pri bode (30, 50) možno naplánovať tankovanie zhruba v polovici cesty.

Prax: kontrola uhlopriečky miestnosti

Stavbár meria miestnosť 4 m × 3 m. Uhlopriečka by mala byť $d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ m. Ak sa odmeraná uhlopriečka líši, miestnosť nie je presne pravouhlá.

Prax: GPS sledovanie v športe

Futbalista má GPS pozície (12, 5) a (18, 13) v metroch. Sprintová vzdialenosť je $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ m. Analytici sčítavajú stovky takýchto úsekov na výpočet celkovej nabehnutej vzdialenosti.

Cvičné príklady

Nájdi stred úsečky P(−3, 5) a Q(7, −1).

Zobraziť odpoveď

S = ((−3+7)/2, (5+(−1))/2) = (4/2, 4/2) = (2, 2)

Nájdi vzdialenosť medzi C(0, 0) a D(5, 12).

Zobraziť odpoveď

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

S(4, 3) je stred úsečky AB. A je v bode (1, −1). Nájdi B.

Zobraziť odpoveď

4 = (1 + xB)/2 → xB = 7. 3 = (−1 + yB)/2 → yB = 7. Teda B = (7, 7).