Obsah zložených útvarov

Zložený útvar je tvorený dvoma alebo viacerými jednoduchými tvarmi spojenými dohromady. Celkový obsah nájdeme tak, že útvar rozdelíme na obdĺžniky, trojuholníky alebo iné základné tvary, vypočítame každý obsah zvlášť a súčty sčítame.

Čo je zložený útvar?

Zložený útvar (nazývaný aj kompozitný tvar) vzniká spojením dvoch alebo viacerých základných tvarov — obdĺžnikov, trojuholníkov, polkruhov alebo lichobežníkov.

Stratégia: Rozdeliť, vypočítať, sčítať

Rozdeliť tvar na známe časti (nakresli bodkovanú čiaru).
Poznačiť všetky rozmery — niekedy treba chýbajúce dĺžky dopočítať.
Vypočítať obsah každej časti správnym vzorcom.
Sčítať všetky obsahy.

Miestnosť tvaru L

Tvar L možno rozdeliť na dva obdĺžniky.

Celková šírka: 8 m, výška: 6 m; z pravého horného rohu je vystrihnutý kúsok 3 m × 4 m.

Obdĺžnik A: $8 \times 6 = 48$ m² Vystrihnutá časť: $3 \times 4 = 12$ m²

Prípadne rozdeľ priamo na dva menšie obdĺžniky:

Ľavá časť: $5 \times 6 = 30$ m²
Pravá časť: $3 \times 2 = 6$ m²
Celkový obsah: $30 + 6 = 36$ m²

Oba postupy dajú rovnaký výsledok.

Tvary s polkruhom

Ak útvar obsahuje polkruh, použi: $\text{Obsah polkruhu} = \frac{\pi r^2}{2}$

Obdĺžnik s polkruhom navrchu

Obdĺžnik 10 cm × 6 cm, navrchu polkruh s priemerom 10 cm.

Obdĺžnik: $10 \times 6 = 60$ cm²

Polkruh (polomer = 5): $\frac{\pi \times 25}{2} \approx 39{,}3$ cm²

Celkový obsah ≈ $99{,}3$ cm²

Tip

Pri výpočte obvodu zloženého útvaru počítaj len vonkajšie hrany — nie vnútorné deliace čiary.

Prax: záhrada s terasou

Záhrada je obdĺžiniková 10 m × 8 m, s dlahovaným nádvorim 3 m × 3 m v jednom rohu.

Plocha trávnika = celká plocha − ter. plocha:

$S = (10 \times 8) - (3 \times 3) = 80 - 9 = 71 \text{ m}^2$

Treba 71 m² trávnika. Terasa vyžaduje 9 m² dlažadíby.

Prax: pôdorys bytu tvaru L

Byt má pôdorys tvaru L. Vonkajší obdĺženik má 8 m × 6 m, ale z rohu je odstraná 2 m × 3 m niša.

Celý obdĺženik: $8 \times 6 = 48 \text{ m}^2$

Odpocitaná niša: $2 \times 3 = 6 \text{ m}^2$

Obyčajovatná plocha: $48 - 6 = 42 \text{ m}^2$

Realitkár zverejní byt ako 42 m²; podkľadolkeč objedná presne 42 m² laminátu.

Prax: atletická dráha

Halohová běžecká dráha je obdĺženik 60 m × 30 m s polkruhmi na každom krAtkom konci (priemer 30 m, polomer 15 m).

Obdĺženik: $60 \times 30 = 1800 \text{ m}^2$

Dva polkruhy = jeden kruh: $\pi \times 15^2 \approx 707 \text{ m}^2$

Celkový obsah $\approx 1800 + 707 = 2507 \text{ m}^2$

Správcovia halí tento výpočet používajú pri odhadoch nákladov na nový povrch dráhy.

Tip

Kde vidíme zložené útvary? Takmer každý pôdorys budovy, bazény so zaoblenými koncami, športové ihriscá so zaoblenými rohmi a parkový dizajn sú zložené útvary.

Cvičné príklady

Útvar tvorí obdĺžnik 10 cm × 4 cm s trojuholníkom so základňou 10 cm a výškou 3 cm navrchu. Nájdi celkový obsah.

Zobraziť odpoveď

Obdĺžnik: 10 × 4 = 40 cm². Trojuholník: ½ × 10 × 3 = 15 cm². Celkový obsah = 55 cm².

Tvar L má vonkajšie rozmery 8 m × 7 m. Z jedného rohu je odstránená časť 3 m × 4 m. Aký je obsah?

Zobraziť odpoveď

Celý obdĺžnik: 8 × 7 = 56 m². Odstránená časť: 3 × 4 = 12 m². Obsah = 56 − 12 = 44 m².

Atletická dráha má tvar obdĺžnika 60 m × 30 m s polkruhmi na každom krátkom konci (priemer 30 m). Nájdi celkový obsah vnútri dráhy.

Zobraziť odpoveď

Obdĺžnik: 60 × 30 = 1800 m². Dva polkruhy = jeden kruh: π × 15² ≈ 707 m². Celkový obsah ≈ 2507 m².