Obsah a obvod trojuholníka

Výpočet obsahu a obvodu trojuholníkov pomocou základne a výšky a Heronovho vzorca.

Obsah trojuholníka

Trojuholník so základňou b, výškou h a stranami a, b, c

Obsah trojuholníka

S = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h

b je základňa, h je kolmá výška na danú základňu.

Heronov vzorec

Keď poznáme iba dĺžky strán $a$ , $b$ , $c$ , použijeme Heronov vzorec:

Heronov vzorec

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \dfrac{a+b+c}{2}

s je poloobvod trojuholníka.

Obsah trojuholníka so základňou 10 cm a výškou 6 cm

$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \text{ cm}^2$

Heronov vzorec: strany 3, 4, 5

$s = 6$

$S = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}^2$

Prax: obkladanie štítu strechy

Trojuholníkový štít domu má základňu 8 m a výšku 3 m.

Staviteľ chce vedieť, koľko obkladového materiálu objednať.

$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ m}^2$

Objedná 12 m² obkladu plus cca 10 % rezervu na odpad a rezanie.

Prax: trojuholníkový pozemok

Geodet zmeria trojuholníkový pozemok so základňou 40 m a kolmou výškou 25 m.

$S = \frac{1}{2} \times 40 \times 25 = 500 \text{ m}^2$

To je 0,05 hektára. Vlastníci, projektanti a odhadcovia využívajú plochu na ocenenie pozemku, výpočet poplatkov alebo odhad výnosu úrody.

Prax: reflexná fólia na dopravné značky

Trojuholníková výstražná značka má základňu 0,6 m a výšku 0,52 m.

$S = \frac{1}{2} \times 0{,}6 \times 0{,}52 = 0{,}156 \text{ m}^2$

Výrobca, ktorý produkuje 500 takýchto značiek, potrebuje $500 \times 0{,}156 = 78 \text{ m}^2$ reflexnej fólie. Výpočet vopred predchádza podobjednaniu a výrobným oneskoreniam.

Tip

Kde vidíme trojuholníky? Štíty striech, steny pyramíd, trojuholníkové výstražné značky, plachty lodí, prierez stanmi, siluety hôr a plátky sendviča – všade sa uplatňuje výpočet trojuholníkových plôch.

Cvičné príklady

Trojuholník má základňu 12 m a výšku 5 m. Nájdite jeho obsah.

Zobraziť odpoveď

S = ½ × 12 × 5 = 30 m²

Použite Heronov vzorec pre trojuholník so stranami 5, 12, 13.

Zobraziť odpoveď

s = 15. S = √(15·10·3·2) = √900 = 30 cm²

Trojuholníkový kvetinový záhon má základňu 6 m a výšku 4 m. Koľko kompostu (v m²) treba?

Zobraziť odpoveď

S = ½ × 6 × 4 = 12 m²