Priama úmernosť

Dve veličiny sú priamo úmerné, ak sa menia rovnakým tempom — keď jedna zdvojnásobí, zdvojnásobí sa aj druhá. Vzťah sa zapisuje ako y = kx, kde k je konštanta úmernosti.

Čo znamená priama úmernosť?

Dve veličiny sú priamo úmerné, ak ich pomer zostáva konštantný.

Keď sa $x$ zdvojnásobí, $y$ sa tiež zdvojnásobí. Keď sa $x$ strojnásobí, strojnásobí sa aj $y$ .

Príklady zo života:

Čím viac jabĺk kúpiš, tým viac zaplatíš (cena ∝ množstvo)
Čím ďalej jazdíš konštantnou rýchlosťou, tým viac paliva spotrebuješ
Počet pracovníkov a celková mzda (rovnaká hodinová sadzba)

Vzorec

Priama úmernosť

y = kx

y a x sú dve veličiny; k je konštanta úmernosti (pre daný vzťah je vždy rovnaká)

Ako nájsť $k$ : vydelíme známu hodnotu $y$ zodpovedajúcou hodnotou $x$ .

$k = \frac{y}{x}$

Nájdenie konštanty k

5 kg jabĺk stojí 3,50 €.

$k = \frac{3{,}50}{5} = 0{,}70 \quad \text{(0,70 EUR za kg)}$

Cena za 8 kg: $y = 0{,}70 \times 8 = 5{,}60\text{ EUR}$

Ako spoznať graf priamej úmernosti?

Graf priamej úmernosti:

Je priamka
Prechádza počiatkom (0, 0)

Ak graf neprechádza bodom (0, 0), vzťah je lineárny, ale nie priamo úmerný.

Overenie v tabuľke

Rýchly test: ak podiel $\frac{y}{x}$ dáva rovnakú hodnotu pre každý pár v tabuľke, veličiny sú priamo úmerné.

$x$	$y$	$y/x$
2	6	3
5	15	3
10	30	3 ✓

Využitie v praxi

Prax: úprava receptu

Receptúra cestovín pre 4 osoby vyžaduje 300 g cestovín.

$k = 300 \div 4 = 75 \text{ g na osobu}$

Pre 10 osôb: $75 \times 10 = 750 \text{ g}$

Kuchári a catereri využívajú priamu úmernosť na bezproblémové prepočítanie receptov pre rôzny počet osôb.

Prax: spotreba paliva

Auto spotrebuje 7 litrov na 100 km.

Pre cestu 450 km: $\dfrac{7}{100} \times 450 = 31{,}5 \text{ litrov}$

Spotreba paliva a vzdialenosť sú priamo úmerné — dvojnásobná vzdialenosť znamená dvojnásobnú spotrebu.

Prax: kurz mien

Výmenný kurz: €1 = 1,10 USD.

Prevod €85: $85 \times 1{,}10 = 93{,}50\text{ USD}$

Banky a cestovné aplikácie využívajú priamu úmernosť na okamžité prepočty mien.

Tip

Test priamej úmernosti: vypočítaj $y \div x$ pre každý pár hodnôt v tabuľke. Ak vyjde vždy rovnaké číslo $k$ , vzťah je priamo úmerný a platí $y = kx$ .

Cvičné príklady

Auto prejde 120 km za 2 hodiny konštantnou rýchlosťou. Koľko km prejde za 5 hodín?

Zobraziť odpoveď

k = 120/2 = 60 km/h. Vzdialenosť = 60 × 5 = 300 km.

Recept na 8 sušienok vyžaduje 200 g múky. Koľko múky treba na 20 sušienok?

Zobraziť odpoveď

k = 200/8 = 25 g na sušienku. Múka = 25 × 20 = 500 g.

Ide o priamu úmernosť? x: 3, 6, 9 — y: 7, 14, 21

Zobraziť odpoveď

y/x = 7/3 ≈ 2,33 pre všetky dvojice. Pomer je konštantný, teda áno — priama úmernosť.