Nepriama úmernosť

Dve veličiny sú nepriamo úmerné, keď jedna rastie tak rýchlo, ako druhá klesá. Súčin oboch veličín je vždy konštantný a vzorec je y = k/x.

Čo je nepriama úmernosť?

Dve veličiny sú nepriamo úmerné, keď jedna rastie tak, ako druhá klesá v rovnakom pomere.

Ak jednu veličinu zdvojnásobíme, druhá sa zmenší na polovicu. Ich súčin zostáva konštantný.

Príklady zo života:

y = \frac{k}{x}

y a x sú dve veličiny; k je konštanta úmernosti (= x × y pre ľubovoľnú dvojicu)

Ako nájsť $k$ : vynásobíme ľubovoľnú zodpovedajúcu dvojicu hodnôt. $k = xy$ .

Pracovníci a čas

4 pracovníci natretia plot za 6 hodín.

Nájdeme k: $k = 4 \times 6 = 24$

Koľko hodín budú pracovať 3 pracovníci? $y = 24 / 3 = 8$ hodín

Koľko hodín bude stačiť 8 pracovníkom? $y = 24 / 8 = 3$ hodiny

Graf nepriamej úmernosti je hyperbola — krivka, ktorá sa čím ďalej, tým viac približuje ku koordinátovým osiam, ale nikdy sa ich nedotkne.

Na rozdiel od priamej úmernosti neprechádza počiatkom.

Vlastnosť	Priama ( $y = kx$ )	Nepriama ( $y = k/x$ )
Keď jedna zdvojnásobí…	druhá sa tiež zdvojnásobí	druhá sa zmenší na polovicu
Graf	priamka prechádzajúca počiatkom	hyperbola
Konštanta	$y/x = k$	$xy = k$

Prax: rýchlosť a čas cesty

Cesta je 240 km dlhá. Pri 60 km/h trvá 4 hodiny.

$k = 60 \times 4 = 240$

Pri 80 km/h: $t = 240 \div 80 = 3 \text{ hodiny}$

Rýchlosť a čas sú nepriamo úmerné — súčin ostáva konštantný rovný 240.

Prax: pracovníci a termín

4 murári postavia múr za 6 dní.

$k = 4 \times 6 = 24$

Na dokončenie za 3 dni: $n = 24 \div 3 = 8 \text{ murárov}$

Stavbyvedúci takto vypočítajú, koľko robotníkov treba, keď sa termín posunie.

Prax: prevodový pomer na bicykli

Bicykel má predné ozubené koleso s 52 zubmi. Zadné sa strieda medzi 13 a 26 zubmi.

So 13 zubmi: $52 \div 13 = 4$ otáčky kolesa na šliapnutie.

S 26 zubmi: $52 \div 26 = 2$ otáčky kolesa na šliapnutie.

Veľkosť pastorku a prevodový pomer sú nepriamo úmerné.

Tip

Test nepriamej úmernosti: vynásob každý pár hodnôt $x \times y$ . Ak vyjde vždy rovnaké číslo $k$ , ide o nepriamu úmernosť a platí $y = k/x$ .

6 dobrovoľníkov uprace park za 4 hodiny. Ako dlho by to trvalo 8 dobrovoľníkom?

Zobraziť odpoveď

k = 6 × 4 = 24. Čas = 24 ÷ 8 = 3 hodiny.

Pri rýchlosti 60 km/h trvá cesta 3 hodiny. Ako dlho trvá pri 90 km/h?

Zobraziť odpoveď

k = 60 × 3 = 180. Čas = 180 ÷ 90 = 2 hodiny.

V tabuľke: x: 2, 4, 6 a y: 12, 6, 4. Ide o nepriamu úmernosť?

Zobraziť odpoveď

xy = 24 pre všetky dvojice (2×12, 4×6, 6×4). Áno — súčin je konštantný, ide o nepriamu úmernosť.