Pomery a proporcie

Pomer porovnáva dve veličiny. Proporcia hovorí, že dva pomery sú rovnaké. Proporcie riešime skríženým násobením.

Čo je pomer?

Pomer porovnáva dve veličiny. Pomer 3 jabĺk k 5 pomarančom zapíšeme:

$3 : 5 \quad \text{alebo} \quad \frac{3}{5}$

Pomery možno zjednodušiť ako zlomky: $6:10 = 3:5$ .

Poznámka Na poradí záleží! Pomer 3:5 je iný ako 5:3.

Čo je proporcia?

Proporcia hovorí, že dva pomery sú rovnaké:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Skrížené násobenie

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \times d = b \times c

Skrížene násob na nájdenie neznámej v proporcii.

Riešenie proporcií

Nájdi $x$ :

$\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$

Skrížene násob: $3 \times 12 = 4 \times x$

$36 = 4x \implies x = 9$

Rozdelenie veličiny v danom pomere

Rozdeľ 60 v pomere 2:3:

Celkový počet dielov = 2 + 3 = 5

Jeden diel = 60 ÷ 5 = 12

$2 \times 12 = 24, \quad 3 \times 12 = 36$

Recept používa múku a cukor v pomere 5:2. Koľko cukru treba, ak použiješ 350 g múky?

$\frac{5}{2} = \frac{350}{x}$

$5x = 700 \implies x = 140 \text{ g}$

Využitie v praxi

Prax: čítanie mapového mierka

Turistická mapa má mierku 1 : 50 000. Chodník meria na mape 4,6 cm.

Skutočná vzdialenosť $= 4{,}6 \times 50\,000 = 230\,000 \text{ cm} = 2{,}3 \text{ km}$

Turisté a orientieristi využívajú tento pomer na plánovanie trás a odhadovanie doby prechodu.

Prax: architektonický výkres

Stavebný plán je v mierke 1 : 100. Múr sa javí ako 3,5 cm na výkrese.

Skutočná dĺžka $= 3{,}5 \times 100 = 350 \text{ cm} = 3{,}5 \text{ m}$

Architekti a stavitelia využívajú mierky na premenu výkresov na skutočné stavby.

Prax: miešanie betónu

Zmes betónu vyžaduje cement, piesok a štrk v pomere 1 : 2 : 4. Stavbár potrebuje 70 kg štrku.

Celkové diely $= 7$ . Jeden diel $= 70 \div 4 = 17{,}5 \text{ kg}$

Cement: $17{,}5 \text{ kg}$ — Piesok: $35 \text{ kg}$ — Štrk: $70 \text{ kg}$

Tip

Pomery a mierky sa objavujú všade: mapy, architektonické výkresy, receptúry, zmes farieb či betónu. Zjednodušenie pomeru funguje rovnako ako zjednodušenie zlomku — vydeľ obidva členy ich NSD.

Cvičné príklady

Zjednodušte pomer 24:36.

Zobraziť odpoveď

NSD(24,36) = 12. Zjednodušené: 2:3.

Riešte: 7/x = 14/10.

Zobraziť odpoveď

Skrížene: 70 = 14x → x = 5.