Grafy dráha–čas

Graf dráha–čas zobrazuje, ako sa vzdialenosť objektu od východiskového bodu mení v čase. Smernica (sklon) priamky udáva rýchlosť. Priamka znamená stálu rýchlosť, krivka znamená meniaci sa pohyb a vodorovná čiara znamená, že objekt stojí.

Čo je graf dráha–čas?

Graf dráha–čas (d–t) zobrazuje vzdialenosť od referenčného bodu (os y) v závislosti od času (os x).

Smernica (sklon) grafu d–t udáva rýchlosť:

$\text{rýchlosť} = \frac{\text{zmena dráhy}}{\text{zmena času}} = \frac{\Delta d}{\Delta t}$

Čítanie grafu

Typ priamky	Význam
Vodorovná priamka	Objekt stojí (nepohybuje sa)
Šikmá priamka nahor	Stála rýchlosť pohyb od štartu
Šikmá priamka nadol	Stála rýchlosť pohyb späť k štartu
Krivka (čoraz strmšia)	Zrýchľovanie (naberanie rýchlosti)
Krivka (čoraz miernejšia)	Spomaľovanie (strata rýchlosti)

Poznámka

Čím strmšia je priamka, tým väčšia je rýchlosť (väčšia smernica = väčšia rýchlosť).

Výpočet rýchlosti z grafu

Na výpočet rýchlosti z priamkovej časti si vyber dva body a vypočítaj:

$\text{rýchlosť} = \frac{d_2 - d_1}{t_2 - t_1}$

Čítanie grafu dráha–čas

Auto prejde 200 m za 10 sekúnd (priamka na grafe). Urči jeho rýchlosť.

$\text{rýchlosť} = \frac{200}{10} = 20 \text{ m/s}$

Príklad grafu

Predstav si prechádzku osoby:

0–5 min: kráča rovnomerne od štartu (šikmá priamka nahor)
5–8 min: zastaví sa na odpočinok (vodorovná priamka)
8–12 min: kráča späť domov väčšou rýchlosťou (strmšia priamka nadol)

Prax: Cesta cyklistu do školy

Cyklista odchádza z domu a graf dráha–čas ukazuje:

0–5 min: rovnomerný výjazd do kopca — plytká, priama čiara (pomalá, stála rýchlosť)
5–6 min: zastavenie na červenom semafore — vodorovná čiara (rýchlosť = 0)
6–10 min: rýchly zjazd z kopca — strmšia, priama čiara (vyššia stála rýchlosť)

Čím strmšia je priamka, tým väčšia je rýchlosť. Vodorovný úsek znamená úplné zastavenie.

Prax: Trasa autobusu so zastávkou

Autobus prejde 600 m na zastávku za 60 s, čaká 30 s, potom pokračuje ďalších 400 m za 40 s.

Úsek 1: $v = \dfrac{600}{60} = 10 \text{ m/s}$
Úsek 2 (čakanie): $v = 0 \text{ m/s}$
Úsek 3: $v = \dfrac{400}{40} = 10 \text{ m/s}$

Na grafe dráha–čas majú oba jazdné úseky rovnakú smernicu — autobus ide v oboch častiach rovnako rýchlo.

Prax: Bežec zrýchľuje na štarte pretekov

Na štarte šprintu na 100 m bežec zrýchľuje zo stavu pokoja. Graf dráha–čas sa zakriví nahor (stáva sa strmším) — klasický znak zrýchlenia: každú sekundu prejde bežec väčšiu vzdialenosť.

Tip

Kde to vidíš v reálnom živote? Prevádzkovatelia vlakov a kuriérske spoločnosti používajú grafy dráha–čas na plánovanie jízdnych poriadkov a odhaľovanie meškania. Fitness aplikácia zaznamenáva tvoju vzdialenosť v čase počas behu — vidíš, kedy si zrýchlil, spomalil alebo sa zastavil.

Cvičné príklady

Graf d–t zobrazuje vodorovnú priamku. Čo objekt robí?

Zobraziť odpoveď

Objekt stojí — nepohybuje sa. Vzdialenosť od štartu je stálá, takže rýchlosť = 0.

Na grafe d–t sa v čase t=0 až t=6s vzdialenosť zvýši z 0 na 30 m. Aká je rýchlosť?

Zobraziť odpoveď

rýchlosť = Δd/Δt = 30/6 = 5 m/s

Ktorý úsek grafu d–t zobrazuje rýchlejší pohyb: priamka so smernicou 8 m/s alebo so smernicou 3 m/s?

Zobraziť odpoveď

Priamka so smernicou 8 m/s zobrazuje rýchlejší pohyb. Strmšia smernica znamená väčšiu rýchlosť.