Sinus, Kosinus und Tangens

Die drei grundlegenden trigonometrischen Verhältnisse: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel $\theta$ :

Rechtwinkliges Dreieck mit Winkel θ, Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse

SOH-CAH-TOA

\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}, \quad \cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}, \quad \tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}

Wichtige Identitäten

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad \text{(Pythagoräische Identität)}$

Tipp

Eselsbrücke: SOH-CAH-TOA – Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse, Kosinus = Ankathete/Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete/Ankathete.

Besondere Winkel

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	nicht definiert

sin, cos, tan für ein 3-4-5 rechtwinkliges Dreieck (Winkel gegenüber der Seite 4)

Hypotenuse = 5, Gegenkathete = 4, Ankathete = 3.

$\sin\theta = 4/5 = 0{,}8$ , $\cos\theta = 3/5 = 0{,}6$ , $\tan\theta = 4/3 \approx 1{,}33$

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Architektur — Dachhöhe berechnen

Ein Architekt weiß, dass ein Dachsparren 8 m lang ist und einen Winkel von 30° zur Horizontalen bildet. Die senkrechte Dachhöhe berechnet sich zu:

$\text{Höhe} = 8 \times \sin 30° = 8 \times 0{,}5 = 4 \text{ m}$

Die horizontale Spannweite beträgt: $8 \times \cos 30° \approx 8 \times 0{,}866 = 6{,}93 \text{ m}$

Praxisbezug: Navigation — Nord- und Ostkomponenten

Ein Schiff fährt 50 km auf einem Kurs von 40° Nord. Die Nordkomponente beträgt $50 \times \cos 40° \approx 38{,}3$ km und die Ostkomponente $50 \times \sin 40° \approx 32{,}1$ km — damit wird die genaue Position auf der Seekarte bestimmt.

Praxisbezug: Physik — Geschwindigkeitskomponenten beim Wurf

Ein Ball wird mit 20 m/s unter einem Winkel von 60° abgekickt. Die horizontalen und vertikalen Geschwindigkeitskomponenten sind:

$v_x = 20 \times \cos 60° = 20 \times 0{,}5 = 10 \text{ m/s}$ (waagerecht)

$v_y = 20 \times \sin 60° \approx 20 \times 0{,}866 = 17{,}3 \text{ m/s}$ (senkrecht)

Tipp

Wo begegnest du dem? Sinus und Kosinus zerlegen Kräfte, Geschwindigkeiten oder Strecken in waagerechte und senkrechte Anteile — täglich genutzt in Technik, Navigation, Architektur und Physik.

Übungsaufgaben

In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse 10 und einem Winkel von 30°: Berechne die Gegenkathete.

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Geg = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5

Berechne tan(45°)

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tan(45°) = 1 (da sin = cos = √2/2)