Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras beschreibt die Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: a² + b² = c².

Aussage

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt, wenn $c$ die Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel) und $a$ , $b$ die Katheten sind:

Satz des Pythagoras

a^2 + b^2 = c^2

Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten.

Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 3 und 4 berechnen

$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Pythagoräische Tripel

Häufige ganzzahlige Lösungen $(a, b, c)$ : $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ .

Tipp

Multipliziere ein pythagoräisches Tripel mit einer Konstanten: $(3,4,5) \times 2 = (6,8,10)$ erfüllt ebenfalls $a^2 + b^2 = c^2$ .

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: rechten Winkel auf der Baustelle prüfen

Ein Bauarbeiter möchte sicherstellen, dass eine Fundamentecke genau 90° hat. Er misst 3 m entlang einer Wand und 4 m entlang der anderen. Wenn die Diagonale genau 5 m beträgt, stimmt der Winkel.

Prüfung: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓ — das 3-4-5-Tripel bestätigt den rechten Winkel.

Praxisbezug: Bildschirmdiagonale beim Fernseher

Ein Fernseher wird als „55 Zoll" beworben. Das ist die Diagonale des Bildschirms. Bei einem 16:9-Format und einer Breite von ca. 122 cm beträgt die Höhe ca. 69 cm.

Diagonale: $\sqrt{122^2 + 69^2} = \sqrt{14884 + 4761} = \sqrt{19645} \approx 140 \text{ cm} \approx 55$ Zoll.

Praxisbezug: GPS-Luftlinienentfernung

Ein Wanderer geht 6 km nach Osten und 8 km nach Norden. Die Luftlinie zurück zum Startpunkt beträgt:

$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ km}$

GPS-Geräte nutzen genau diese Berechnung, um Luftlinienentfernungen anzuzeigen.

Tipp

Schnellcheck: Wann immer zwei Strecken einen rechten Winkel bilden, liefert der Satz des Pythagoras die kürzeste Verbindung — nützlich in Navigation, Bauwesen und bei der Berechnung von Bildschirmgrößen.

Übungsaufgaben

Berechne die fehlende Kathete, wenn die Hypotenuse 13 und eine Kathete 5 ist.

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b² = 169 − 25 = 144 → b = 12

Ist ein Dreieck mit den Seiten 6, 8, 10 rechtwinklig?

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6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Ja, es ist ein rechtwinkliges Dreieck.