Punktsymmetrie

Eine Figur hat Rotationssymmetrie, wenn sie nach einer Drehung um weniger als 360° um einen festen Mittelpunkt wieder gleich aussieht. Wir untersuchen die Ordnung der Rotationssymmetrie und den Sonderfall der Punktsymmetrie.

Was ist Rotationssymmetrie?

Eine Figur hat Rotationssymmetrie (oder Drehsymmetrie), wenn man sie um einen festen Mittelpunkt um weniger als 360° drehen kann und sie dabei genauso aussieht wie vorher.

Der feste Punkt heißt Drehmittelpunkt.

Tipp

Zeichne die Figur auf Transparentpapier, stecke eine Nadel in den Mittelpunkt und drehe das Transparentpapier. Jede Position, in der die Kopie deckungsgleich mit dem Original ist, ist eine Symmetrieposition.

Ordnung der Rotationssymmetrie

Die Ordnung der Rotationssymmetrie gibt an, wie oft eine Figur bei einer vollständigen 360°-Drehung deckungsgleich mit sich selbst ist.

Drehwinkel

\text{Winkel} = \dfrac{360°}{\text{Ordnung}}

Dividiere 360° durch die Ordnung der Symmetrie, um den kleinsten Winkel zu erhalten, bei dem die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

Figur	Ordnung	Kleinster Winkel
Kreis	Unendlich	Beliebiger Winkel
Quadrat	4	90°
Gleichseitiges Dreieck	3	120°
Rechteck	2	180°
Regelmäßiges Fünfeck	5	72°
Regelmäßiges Sechseck	6	60°
Unregelmäßiges Dreieck	1	360° (keine Rotationssymmetrie)

Jede Figur hat mindestens die Ordnung 1, weil eine vollständige 360°-Drehung sie immer in die Ausgangsposition zurückbringt.

Punktsymmetrie

Punktsymmetrie ist ein Sonderfall der Rotationssymmetrie mit der Ordnung 2 — die Figur sieht nach einer Drehung um genau 180° wieder gleich aus.

Für jeden Punkt $A$ der Figur gibt es einen entsprechenden Punkt $A'$ auf der gegenüberliegenden Seite des Mittelpunkts $O$ im gleichen Abstand:

Regel der Punktsymmetrie

OA = OA' \quad \text{und} \quad A, O, A' \text{ liegen auf einer Geraden}

Der Mittelpunkt O ist der Mittelpunkt der Strecke AA′. Jeder Punkt und sein Bild sind gleich weit von O entfernt, aber auf gegenüberliegenden Seiten.

Figuren mit Punktsymmetrie: Rechtecke, Quadrate, Parallelogramme, Kreise, alle regelmäßigen Vielecke mit gerader Seitenzahl sowie die Buchstaben S, Z und N.

Konstruktion des Bildpunktes bei Punktsymmetrie

1
Zeichne eine Gerade vom Punkt durch den Mittelpunkt
Beginne bei Punkt A, zeichne eine Gerade durch den Mittelpunkt O und verlängere sie über O hinaus.
2
Miss den Abstand OA
Verwende ein Lineal oder zähle Kästchen, um die Entfernung von A zu O zu bestimmen.
3
Markiere A′ auf der gegenüberliegenden Seite
Setze A′ im gleichen Abstand von O auf der anderen Seite der Geraden.
4
Wiederhole für alle Schlüsselpunkte
Mache dasselbe für jeden Eckpunkt der Figur und verbinde die Bildpunkte in der richtigen Reihenfolge.

Hat ein regelmäßiges Sechseck Rotationssymmetrie?

Ja. Ein regelmäßiges Sechseck hat Rotationssymmetrie der Ordnung 6.

Es wird bei Drehungen um 60°, 120°, 180°, 240°, 300° und 360° auf sich selbst abgebildet.

Da die Ordnung 6 eine 180°-Drehung einschließt, hat das Sechseck auch Punktsymmetrie.

Bildpunkt bei Punktsymmetrie bestimmen

Symmetriezentrum ist $O = (0, 0)$ , Punkt $A = (3, -2)$ .

Bild $A'$ findet man, indem man beide Koordinaten vorzeichenwechselt:

$A' = (-3, 2)$

Probe: $O$ ist der Mittelpunkt von $AA'$ — der Mittelpunkt von $(3, -2)$ und $(-3, 2)$ ist $\left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = (0, 0)$ . ✓

Praxisbezug: Spielkarten

Eine Spielkarte (z. B. die Herzsechs) sieht nach einer 180°-Drehung gleich aus — die Symbole sind sowohl für den Spieler als auch für den gegenübersitzenden Mitspieler lesbar. Das ist Punktsymmetrie im Alltag.

Praxisbezug: Räder und Schneeflocken

Ein Rad mit 6 Speichen hat Rotationssymmetrie der Ordnung 6 — es sieht alle 60° gleich aus. Das sorgt für eine gleichmäßige Gewichtsverteilung.

Eine Schneeflocke hat ebenfalls Rotationssymmetrie der Ordnung 6. Alle natürlichen Schneeflocken sind sechseckig, weil die Wassermoleküle im Eis hexagonal angeordnet sind.

Häufige Fehler

Die vollständige 360°-Drehung als eigene Position zählen — sie bringt jede Figur in die Ausgangslage zurück und wird nicht gesondert gezählt.
Achsensymmetrie und Rotationssymmetrie verwechseln — ein Parallelogramm (kein Rechteck) hat Rotationssymmetrie (Ordnung 2), aber keine Achsensymmetrie.
Ordnung 1 als Symmetrie missverstehen — wenn die einzige Übereinstimmung nach 360° auftritt, hat die Figur keine Rotationssymmetrie.
Bildpunkt auf der falschen Seite des Mittelpunkts setzen — A und A′ müssen auf genau gegenüberliegenden Seiten von O liegen.

Übungsaufgaben

Ein regelmäßiges Fünfeck wird um seinen Mittelpunkt gedreht. Nach wie vielen Grad sieht es zum ersten Mal wieder wie zu Beginn aus?

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360° ÷ 5 = 72°. Das Fünfeck ist erstmals nach einer Drehung um 72° deckungsgleich mit dem Original.

Punkt A hat die Koordinaten (4, −2) und das Symmetriezentrum liegt im Ursprung O = (0, 0). Welche Koordinaten hat das Bild A′?

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A′ = (−4, 2). Bei Punktsymmetrie durch den Ursprung wechseln beide Koordinaten das Vorzeichen.

Hat ein Rechteck Punktsymmetrie? Erkläre.

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Ja. Ein Rechteck hat Rotationssymmetrie der Ordnung 2 (nach 180° deckungsgleich), also auch Punktsymmetrie. Der Symmetriemittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.