Volumen und Oberfläche eines Kegels

Der Kegel

Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche und läuft in einem Punkt, der Spitze, zusammen.

Symbol	Bedeutung
$r$	Radius der Grundfläche
$h$	senkrechte Höhe
$l$	Mantellinie: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Volumen eines Kegels

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Oberfläche eines Kegels

SA = \pi r^2 + \pi r l

Fläche der kreisförmigen Grundfläche plus die Mantelfläche.

Kegel: r = 3 cm, h = 4 cm

Mantellinie: $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Volumen: $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 4 = 12\pi \approx 37{,}7 \text{ cm}^3$

Oberfläche: $SA = \pi(9) + \pi(3)(5) = 9\pi + 15\pi = 24\pi \approx 75{,}4 \text{ cm}^2$

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Eiswaffel — Fassungsvermögen

Eine Eiswaffel hat Radius 3 cm und Höhe 12 cm. Wie viel Eis passt hinein?

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 12 = 36\pi \approx 113 \text{ cm}^3$

Eishersteller nutzen diese Berechnung, um Portionsgrößen zu bestimmen und zu berechnen, wie viele Kugeln in eine Standardwaffel passen.

Praxisbezug: Verkehrskegel — benötigtes Material

Ein Verkehrskegel hat Grundradius 15 cm und Mantellinie 45 cm. Die Mantelfläche (Kunststoffmenge):

$SA_{\text{Mantel}} = \pi \times 15 \times 45 = 675\pi \approx 2.120 \text{ cm}^2$

Straßenbauhöfe multiplizieren das mit der Kegelanzahl, um die richtige Menge Reflexfolie zu bestellen.

Praxisbezug: Trichtervolumen in einer Fabrik

Ein Industrietrichter hat Grundradius 20 cm und Höhe 30 cm. Sein Volumen bestimmt die maximale Flüssigkeitsmenge, die er momentan fassen kann:

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 400 \times 30 = 4.000\pi \approx 12.566 \text{ cm}^3 \approx 12{,}6 \text{ Liter}$

Ingenieure nutzen das, um Pumpen auszulegen, die den Durchfluss durch den Trichter bewältigen.

Tipp

Merke: Ein Kegel fasst genau ein Drittel dessen, was ein Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe fasst — wenn du das Zylindervolumen kennst, dividiere einfach durch 3.

Übungsaufgaben

Ein Kegel hat Radius 5 cm und Höhe 12 cm. Berechne Volumen und Mantellinie.

Antwort anzeigen

l = √(25 + 144) = √169 = 13 cm. V = (1/3)π(25)(12) = 100π ≈ 314,2 cm³.