Volumen und Oberfläche einer Kugel

Die Kugel

Eine Kugel ist ein vollkommen runder dreidimensionaler Körper – jeder Punkt auf ihrer Oberfläche ist gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

Symbol	Bedeutung
$r$	Radius

Volumen einer Kugel

V = \frac{4}{3} \pi r^3

Oberfläche einer Kugel

SA = 4 \pi r^2

Kugel mit Radius 6 cm

Volumen: $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288\pi \approx 904{,}8 \text{ cm}^3$

Oberfläche: $SA = 4 \times \pi \times 36 = 144\pi \approx 452{,}4 \text{ cm}^2$

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Fußballherstellung

Ein Standardfußball hat einen Umfang von ca. 69 cm, also Radius $r = 69 / (2\pi) \approx 11{,}0$ cm.

Volumen: $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 11^3 \approx 5.575 \text{ cm}^3$

Hersteller nutzen das, um den korrekten Luftdruck sicherzustellen und den Materialverbrauch (Gummi, Leder) zu berechnen.

Praxisbezug: Kugelförmiger Gastank

Ein kugelförmiger Flüssiggas-Tank hat Radius 4 m. Sein Fassungsvermögen:

$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 64 \approx 268 \text{ m}^3$

Das entspricht 268.000 Litern — Ingenieure nutzen diesen Wert für die Nachfüllplanung und Sicherheitsberechnungen.

Praxisbezug: Beregnungsanlage im Garten

Ein Gartensprenger besprüht einen Halbkugelbereich (Halbkugel) mit Radius 3 m. Das Sprühvolumen:

$V_{\text{Halbkugel}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 18\pi \approx 56{,}5 \text{ m}^3$

Bewässerungsplaner berechnen das, um vollständige Rasenflächen ohne Lücken oder Überlappungen sicherzustellen.

Tipp

Halbkugel: Eine Halbkugel hat das Volumen $V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$ und eine Mantelfläche von $SA = 2\pi r^2$ . Satellitenschüsseln, Kuppeln und Schüsseln sind annähernd halbkugelförmig.

Übungsaufgaben

Eine Kugel hat den Radius 3 cm. Berechne Volumen und Oberfläche.

Antwort anzeigen

V = (4/3)π(27) = 36π ≈ 113,1 cm³. SA = 4π(9) = 36π ≈ 113,1 cm².