Volumen & Oberfläche – Schnellübersicht

Würfel

Volumen

V = a^3

Oberfläche

SA = 6a^2

Quader

Volumen

V = l \cdot w \cdot h

Oberfläche

SA = 2(lw+lh+wh)

Zylinder

Volumen

V = \pi r^2 h

Oberfläche

SA = 2\pi r^2 + 2\pi r h

Kegel

Volumen

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Oberfläche

SA = \pi r^2 + \pi r l

Kugel

Volumen

V = \frac{4}{3}\pi r^3

Oberfläche

SA = 4\pi r^2

Quadratische Pyramide

Volumen

V = \frac{1}{3} a^2 h

Oberfläche

SA = a^2 + 2al

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Verpackungsdesign — Karton für eine Müslischachtel

Eine Müslischachtel (Quader) misst 30 cm × 8 cm × 20 cm. Oberfläche = benötigter Karton:

$SA = 2(30 \times 8 + 30 \times 20 + 8 \times 20) = 2(240 + 600 + 160) = 2.000 \text{ cm}^2$

Volumen = Fassungsvermögen für Müsli: $V = 30 \times 8 \times 20 = 4.800 \text{ cm}^3$ .

Praxisbezug: Architektur — Beton für Zylindersäulen

Ein Gebäude benötigt 12 Betonsäulen (Zylinder) mit Radius 0,3 m und Höhe 4 m.

Volumen einer Säule: $V = \pi \times 0{,}09 \times 4 \approx 1{,}13 \text{ m}^3$

Gesamter Beton: $12 \times 1{,}13 \approx 13{,}6 \text{ m}^3$ — etwa 14 Fahrmischer-Ladungen.

Praxisbezug: Fertigung — Farbe für kugelförmige Gastanks

Eine Anlage hat 6 kugelförmige Tanks mit je Radius 5 m. Gesamte zu streichende Oberfläche:

$SA_{\text{ein Tank}} = 4\pi \times 25 = 100\pi \approx 314 \text{ m}^2$

Gesamt: $6 \times 314 = 1.884 \text{ m}^2$ — die benötigte Menge für die Industriefarbebestellung.

Tipp

Die richtige Formel wählen: Volumen wird gebraucht, wenn etwas befüllt, eingegossen oder gelagert werden soll. Oberfläche wird gebraucht, wenn etwas gestrichen, verpackt oder überzogen wird.