Oberfläche und Volumen eines Zylinders

Der Zylinder

Ein Zylinder ist ein Körper mit zwei kreisförmigen Grundflächen und einer gebogenen Mantelfläche.

Volumen eines Zylinders

V = \pi r^2 h

Volumen = Grundfläche × Höhe

Oberfläche eines Zylinders

S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)

Zwei kreisförmige Grundflächen plus die Mantelfläche.

Zylinder: r = 3 cm, h = 10 cm

$V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \approx 282{,}7 \text{ cm}^3$

$S = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 6\pi \times 13 = 78\pi \approx 245{,}0 \text{ cm}^2$

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Getränkedose — Volumen und Oberfläche

Eine Standard-Aluminiumdose hat Radius ≈ 3,3 cm und Höhe ≈ 11,5 cm.

Volumen: $V = \pi \times 3{,}3^2 \times 11{,}5 \approx 393 \text{ cm}^3$ — etwa 330 ml.

Oberfläche: $S = 2\pi \times 3{,}3 \times (3{,}3 + 11{,}5) \approx 307 \text{ cm}^2$ — die benötigte Aluminiummenge pro Dose.

Praxisbezug: Befüllung eines zylindrischen Wassertanks

Ein Bauernhoftank hat Radius 2 m und Höhe 4 m. Der Besitzer möchte wissen, wie viele Liter er fasst.

$V = \pi \times 4 \times 4 = 16\pi \approx 50{,}3 \text{ m}^3$

Da 1 m³ = 1.000 Liter, fasst der Tank etwa 50.300 Liter — genug für einen wochenlangen Haushaltsbedarf.

Praxisbezug: Farbbedarf zum Streichen einer Säule

Eine Betonsäule hat Radius 0,4 m und Höhe 3 m. Die zu streichende Mantelfläche:

$S_{\text{Mantel}} = 2\pi \times 0{,}4 \times 3 = 2{,}4\pi \approx 7{,}54 \text{ m}^2$

Bei 5 m² pro Farbdose werden 2 Dosen benötigt.

Tipp

Volumen vs. Oberfläche: Das Volumen gibt an, wie viel ein Zylinder fasst; die Oberfläche gibt an, wie viel Material (Metall, Farbe, Etikettenpapier) die Außenseite bedeckt. Beide Berechnungen kommen täglich in Fertigung und Bauwesen vor.

Übungsaufgaben

Berechne das Volumen eines Zylinders mit r = 5 m und h = 4 m.

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V = π × 25 × 4 = 100π ≈ 314,2 m³

Ein Zylinder hat das Volumen 200π cm³ und den Radius 5 cm. Berechne seine Höhe.

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200π = π × 25 × h → h = 8 cm