Oberfläche und Volumen eines Würfels

Der Würfel

Ein Würfel ist ein dreidimensionaler Körper mit sechs gleich großen quadratischen Flächen.

Volumen eines Würfels

V = a^3

Das Volumen ist die dritte Potenz der Kantenlänge.

Oberfläche eines Würfels

S = 6a^2

Ein Würfel hat 6 Flächen, jede mit dem Flächeninhalt a².

Quader (Rechteckprisma)

Für einen Quader mit den Maßen $l \times w \times h$ :

Volumen eines Quaders

V = l \cdot w \cdot h

Oberfläche eines Quaders

S = 2(lw + lh + wh)

Würfel mit der Kantenlänge 4 cm

$V = 4^3 = 64 \text{ cm}^3$

$S = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96 \text{ cm}^2$

Anwendungen im Alltag

Praxisbezug: Karton für eine Müslischachtel abschätzen

Eine Müslischachtel misst 30 cm × 8 cm × 20 cm. Die Oberfläche gibt an, wie viel Karton benötigt wird:

$S = 2(30 \times 8 + 30 \times 20 + 8 \times 20) = 2(240 + 600 + 160) = 2.000 \text{ cm}^2$

Das Volumen gibt an, wie viel Müsli hineinpasst: $V = 30 \times 8 \times 20 = 4.800 \text{ cm}^3$ .

Praxisbezug: Würfelherstellung

Ein Spielwürfel hat eine Kantenlänge von 1,6 cm. Die Oberfläche bestimmt die benötigte Farbmenge:

$S = 6 \times 1{,}6^2 = 6 \times 2{,}56 = 15{,}36 \text{ cm}^2$

Bei 100.000 Würfeln braucht die Fabrik Farbe für $1.536.000 \text{ cm}^2$ — etwa 154 m².

Praxisbezug: Geschenk einpacken

Eine quadratische Geschenkschachtel hat eine Kantenlänge von 25 cm. Die Oberfläche gibt die Mindestmenge Geschenkpapier an:

$S = 6 \times 25^2 = 6 \times 625 = 3.750 \text{ cm}^2 = 0{,}375 \text{ m}^2$

In der Praxis plant man 10–15 % Aufschlag für Überlappungen und Falten ein.

Tipp

Oberfläche = gesamte Außenfläche (Streichen, Verpacken, Etikettieren). Volumen = Innenraum (Befüllen, Lagern). Achte immer darauf, wonach die Aufgabe fragt.

Übungsaufgaben

Berechne Volumen und Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 3 m.

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V = 27 m³, S = 6 × 9 = 54 m²

Ein Quader ist 5 cm × 3 cm × 2 cm. Berechne Volumen und Oberfläche.

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V = 30 cm³, S = 2(15 + 10 + 6) = 62 cm²